1、学科网（北京）股份有限公司绝密启用前榆林市 20222023 年度第四次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。2请将各题答案填写在答题卡上。3本试卷主要考试内容：高考全部内容。第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(杨宪伟老师工作坊)集合 P2，2，集合 Q1，0，2，3，则 PQ()(A)2，3(C)2(B)2，1，0，2，3(D)2，1，0，32(杨宪伟老师工作坊)复数 z(1i)(3i)，则复数 z 在复平面内对应的点位于()
2、(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3(杨宪伟老师工作坊)双曲线y28x261 的一条渐近线方程为()(A)3x4y0(B)4x3y0(C)3x2y0(D)2x 3y04(杨宪伟老师工作坊)若 tan(4)15，则 tan()(A)23(B)23(C)13(D)135(杨宪伟老师工作坊)若函数 f(x)x2eax(aR)，若 f(x)的图象在 x0 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 1，则 a()(A)12(B)2(C)2(D)126(杨宪伟老师工作坊)将函数 ycos2x 的图象向右平移 20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象
3、的一条对称轴为 x()(A)80(B)60(C)40(D)207(杨宪伟老师工作坊)已知 alog3 2，b0.30.5，c0.50.4，则()学科网（北京）股份有限公司(A)cba(B)cab(C)abc(D)bca8(杨宪伟老师工作坊)(5x28x)9 的展开式中含 x3 项的系数为()(A)C695386(B)C595485(C)C795287(D)C4955849(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为 BB1，CD 的中点，则异面直线 MN 与 BC1 所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)3210(杨宪伟老师工作坊)某学校举
4、行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共 100 名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分 100 分)分成45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为 40分析样本数据后，发现学生的竞赛分数 X 近似服从正态分布 N(，2)，其中近似为样本平均数，2 近似为样本方差若某学生的成绩高于 79.9 即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量 XN(，2)，则 P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，11910.9(A)15(B)16(C)
5、34(D)3511(杨宪伟老师工作坊)已知球 O 的内接三棱锥 PABC 的体积为 6，且 PA，PB，PC 的长分别为 6，3，2，则三棱锥 ABOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)612(杨宪伟老师工作坊)已知函数 f(x)，g(x)的定义域均为 R，且 g(x)2f(x1)2，2f(x)g(x3)2若 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，且 f(1)3，现有四个结论：g(0)4；学科网（北京）股份有限公司4 为 g(x)的周期；g(x)的图象关于点(2，0)对称；g(3)0其中结论正确的编号为()(A)(B)(C)(D)第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 2
6、0 分13(杨宪伟老师工作坊)已知向量 a(3，2)，b(，4)，若 a(ab)，则14(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为15(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线 C：y24x 的顶点为 O，经过过点 A，且 F 为抛物线 C的焦点，若|AF|3|OF|，则OAF 的面积为16(杨宪伟老师工作坊)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b23bc，sinC2sinB，则 A三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步
7、骤第 17 题第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17(杨宪伟老师工作坊)(12 分)已知等差数列an中，a1a57，a6132(1)求an的通项公式；(2)求数列1anan1的前 n 项和为 Sn18(杨宪伟老师工作坊)(12 分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择某社区开展有关垃圾分类的知识测试已知测试中有 A，B 两组题，每组都有 4 道题目，甲对 A 组其中 3 道题有思路，1 道题完全没有思路有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14甲对 B 组每道题做
8、对的概率为 0.6，甲可以选择从 A 组中任选 2 道题或从 B 组中任选 2 道题(1)若甲选择从 A 组中任选 2 道题，设 X 表示甲答对题目的个数，求 X 的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题19(杨宪伟老师工作坊)(12 分)在如图所示的三棱锥 DABC 中，已知 ABAC，ABAD，ACAD，2ABACAD4，E 为 AB 的中点，F 为 AC 的中点，G 为 CD 的中点学科网（北京）股份有限公司(1)证明：AD平面 EFG(2)求平面 BCD 与平面 EFG 夹角的余弦值20(杨宪伟老师工作坊)(12 分)已知函数 f(x)12x23ax2
9、a2lnx，a0(1)讨论 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有 3 个零点，求 a 的取值范围21(杨宪伟老师工作坊)(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为34，左、右焦点分别为 F1，F2，短轴长为 2 7(1)求椭圆 C 的方程(2)P 为第一象限内椭圆 C 上一点，直线 PF1，PF2 与直线 x5 分别交于 A，B 两点，记PAB 和PF1F2 的面积分别为 S1，S2，若S1S2 913，求|AB|(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分
10、22(杨宪伟老师工作坊)选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 xy5，圆 M 以(3，0)为圆心且与 l 相切以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 M 的极坐标方程；(2)若射线(02，0)与圆 M 交于点 A，B 两点，且 1|OA|1|OB|17，求直线 AB 的直角坐标方程23(杨宪伟老师工作坊)选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)|2x1|2x2|的最小值为 M(1)解关于 x 的不等式 f(x)M|2x2|；(2)若正数 a，b 满足 a22b2M，求 2ab 的最大值学科网（北京）股份有限公
11、司榆林市 20222023 年度第四次模拟考试数学试题解析(理科)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(杨宪伟老师工作坊)集合 P2，2，集合 Q1，0，2，3，则 PQ()(A)2，3(C)2(B)2，1，0，2，3(D)2，1，0，3【答案】B【解析】因为集合 P2，2，集合 Q1，0，2，3，所以 PQ2，1，0，2，3，故选(B)2(杨宪伟老师工作坊)复数 z(1i)(3i)，则复数 z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为 z(1i)(3i)
12、42i，所以复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)3(杨宪伟老师工作坊)双曲线y28x261 的一条渐近线方程为()(A)3x4y0(B)4x3y0(C)3x2y0(D)2x 3y0【答案】D【解析】令y28x260，可得：2x 3y0，故选(D)4(杨宪伟老师工作坊)若 tan(4)15，则 tan()(A)23(B)23(C)13(D)13【答案】A【解析】解法 1：因为 tan(4)tantan41tantan4tan11tan15，所以 tan23，故选(A)学科网（北京）股份有限公司解法 2：tantan(44)tan(4)tan41tan(4)tan423，故选(A)
13、5(杨宪伟老师工作坊)若函数 f(x)x2eax(aR)，若 f(x)的图象在 x0 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 1，则 a()(A)12(B)2(C)2(D)12【答案】D【解析】f(x)x2eax，f(x)2xaeax，所以 f(0)a，f(0)1，f(x)的图象在 x0 处的切线方程为 yax1，所以该切线与坐标轴围成三角形的面积121 1|a|1，解得：a12，故选(D)6(杨宪伟老师工作坊)将函数 ycos2x 的图象向右平移 20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为 x()(A)80(B)60(C)40(D)20【答案
14、】C【解析】解法 1：将函数 ycos2x 的图象向右平移 20个单位长度，得到的是函数 ycos2(x 20)cos(2x 10)，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12，得到的是函数 ycos(4x 10)，令 4x 10k(kZ)，解得：x 40k4(kZ)，故选(C)解法 2：函数 ycos2x 的一条对称轴为 x0，将其向右平移 20个单位长度，再将横坐标缩小到原来的12，可得：x 40，故选(C)7(杨宪伟老师工作坊)已知 alog3 2，b0.30.5，c0.50.4，则()(A)cba(B)cab(C)abc(D)bca【答案】C【解析】因为 alog3 2(0，0.5)，b
15、0.30.5(0.5，1)，c0.50.4(1，2)，所以 abc，故选(C)8(杨宪伟老师工作坊)(5x28x)9 的展开式中含 x3 项的系数为()学科网（北京）股份有限公司(A)C695386(B)C595485(C)C795287(D)C495584【答案】B【解析】(5x28x)9 的展开式中含 x3 项为 C59(5x2)4(8x)5C595485x3，故选(B)9(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为 BB1，CD 的中点，则异面直线 MN 与 BC1 所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)32【答案】A【解析】取 B1
16、C1 的中点 E，连结 ME，EN，则平面 MECC1，所以EMN 即为异面直线MN 与 BC1 所成角，在EMN 中，MNEN 6，ME 2，cosEMN ME2MN 36，故选(A)10(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共 100 名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分 100 分)分成45，55)，55，65)，65，75)，75，85)，85，95共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为 40分析样本数据后，发现学生的竞赛分数 X 近似服从正态分布 N(，2)，其中近似为样本平均数，2 近似为样本方差若某学生的成绩高于 79.9 即
17、给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量 XN(，2)，则 P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，11910.9(A)15(B)16(C)34(D)35学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】由题意：第三组的频率为 0.4，第四组的频率为 0.15，所以500.1600.25700.4800.15900.169；2(5069)20.1(6069)20.25(7069)20.4(8069)20.15(9069)20.1119，10.9，P(X79.9)1P(X)20.15865，此次竞赛获得优秀奖杯的人数为：10
18、00.1586516，故选(B)11(杨宪伟老师工作坊)已知球 O 的内接三棱锥 PABC 的体积为 6，且 PA，PB，PC 的长分别为 6，3，2，则三棱锥 ABOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)6【答案】B【解析】VPABCVCPAB1312PAPBPC6，所以 PA，PB，PC 互相垂直，而 O 为三棱锥 PABC 的外接球球心，所以 VABOCVOABC12VDABC12VPABC3，故选(B)12(杨宪伟老师工作坊)已知函数 f(x)，g(x)的定义域均为 R，且 g(x)2f(x1)2，2f(x)g(x3)2若 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，且 f(1)3，现
19、有四个结论：g(0)4；4 为 g(x)的周期；g(x)的图象关于点(2，0)对称；g(3)0其中结论正确的编号为学科网（北京）股份有限公司()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】因为 f(x)，g(x)的定义域均为 R，g(x)2f(x1)2，f(1)3，所以 g(0)2f(1)24，正确；又因为 2f(x)g(x3)2，所以 2f(x1)g(x2)2，g(x)g(x2)，即：g(x)g(x4)，故 4 为 g(x)的周期，正确；因为 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，2f(x)g(x3)2，所以 g(x3)g(x1)关于直线 x1 对称，g(x)关于直线 x2 对称，错误；而 g
20、(3)g(1)g(1)，所以 g(3)g(1)0，正确，故选(C)第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13(杨宪伟老师工作坊)已知向量 a(3，2)，b(，4)，若 a(ab)，则【答案】7【解析】因为 a(ab)，所以(ab)a0，即：aba2，3813，714(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为【答案】712【解析】P1314 71215(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线 C：y24x 的顶点为 O，经过过点 A，且 F 为抛物
21、线 C的焦点，若|AF|3|OF|，则OAF 的面积为【答案】2【解析】设 A(x0，y0)，则|AF|x013|OF|3，x02，|y0|2 2，故OAF 的面积12|y0|216(杨宪伟老师工作坊)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2b23bc，sinC2sinB，则 A【答案】23学科网（北京）股份有限公司【解析】因为 sinC2sinB，所以 c2b，又因为 a2b23bc，所以 cosAb2c2a22bc2bc3bc2bc12，A23 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个考题考生必须作答第
22、22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17(杨宪伟老师工作坊)(12 分)已知等差数列an中，a1a57，a6132(1)求an的通项公式；(2)求数列1anan1的前 n 项和为 Sn【解析】(1)因为 a1a52a37，所以 a372，而 a6132，所以an的公差 da6a3631，ana3(n3)d2n12；(2)1anan14(2n1)(2n3)2(12n112n3)，Sn2(1315151712n112n3)2(1312n3)4n6n918(杨宪伟老师工作坊)(12 分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择某社区开展有关垃圾分类的知识测试已知测试
23、中有 A，B 两组题，每组都有 4 道题目，甲对 A 组其中 3 道题有思路，1 道题完全没有思路有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14甲对 B 组每道题做对的概率为 0.6，甲可以选择从 A 组中任选 2 道题或从 B 组中任选 2 道题(1)若甲选择从 A 组中任选 2 道题，设 X 表示甲答对题目的个数，求 X 的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题【解析】(1)记甲选择从 A 组中任选 2 道题，选到的 2 道题都有思路为事件 M，只有 1 道题有思路为事件 N，则 P(M)C23C2412，P(N)
24、12X 的可能取值为 0，1，2P(X0)12(123)212(123)(114)1372；P(X1)12C12(123)231223(114)(123)143772；P(X2)12(23)21223141136；X 的分布列为：学科网（北京）股份有限公司X012P137237721136EX01372137722113698(2)设甲从 B 组中任选 2 道题作答，答对题目数量为 Y，则 YB(2，0.6)，EY20.61.2EX98，故甲应该选择 B 组题答题19(杨宪伟老师工作坊)(12 分)在如图所示的三棱锥 DABC 中，已知 ABAC，ABAD，ACAD，2ABACAD4，E 为
25、AB 的中点，F 为 AC 的中点，G 为 CD 的中点(1)证明：AD平面 EFG(2)求平面 BCD 与平面 EFG 夹角的余弦值【解析】(1)因为 F 为 AC 的中点，G 为 CD 的中点，所以 ADGF，又因为 AD平面 EFG，GF平面 EFG，所以 AD平面 EFG；(2)解法 1：以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(2，0，0)，D(0，0，4)，C(0，4，0)，BC(2，4，0)，DC(0，4，4)，EF(1，2，0)，FG(0，0，2)，设平面 BCD 的法向量为 n(x，y，z)，由nBC0nDC0可得：x2y0yz0，令 y1，则 n(2，1，1)
26、，设平面 EFG 的法向量为m(x1，y1，z1)，由nEF0nFG0可得：x12y10z10，令 y11，则m(2，1，0)，cos mn|m|n|306，故平面 BCD 与平面 EFG 夹角的余弦值为 306 解法 2：取 BD 的中点 H，连结 EH，GH，过点 A 作 AMBC 于 M，交 EF 于 N，连结 DM交 GH 于 O，连结 ON，则 H平面 EFG，因为 ABAD，ACAD，所以 AD平面 ABC，ADBC，而 AMBC，所以 BC平面 ADM，又因为 BCGH，所以 GH平面 ADM，而学科网（北京）股份有限公司平面 EFG平面 BCDGH，所以MON 平即为面 BCD
27、 与平面 EFG 所成角，由(1)可得：AD平面 EFG，平面 EFG平面 ADMON，所以 ADON，MONADM而 AMABACBC 4 55，DM AM2AD24 305，cosADMADDM 306，故平面 BCD 与平面 EFG夹角的余弦值为 306 20(杨宪伟老师工作坊)(12 分)已知函数 f(x)12x23ax2a2lnx，a0(1)讨论 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有 3 个零点，求 a 的取值范围【解析】(1)因为 f(x)12x23ax2a2lnx，所以 f(x)(xa)(x2a)x，而 a0，所以当 a0时，f(x)的增区间为(0，a)和(2a，)，减区间为
28、(a，2a)；当 a0 时，f(x)的增区间为(0，)，无减区间；(2)因为 f(x)有 3 个零点，所以 a0，f(a)2a2(lna54)0，f(2a)2a2(ln2a2)0，解得：e54ae22，此时 f(1)123a0，f(6a)2a2ln6a0，f(x)在(1，a)、(a，2a)和(2a，6a)各有 1个零点，共有 3 个零点，满足题意，所以 a 的取值范围为(e54，e22)21(杨宪伟老师工作坊)(12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为34，左、右焦点分别为 F1，F2，短轴长为 2 7(1)求椭圆 C 的方程(2)P 为第一象限内椭圆 C 上一点，直线
29、PF1，PF2 与直线 x5 分别交于 A，B 两点，记PAB 和PF1F2 的面积分别为 S1，S2，若S1S2 913，求|AB|【解析】(1)因为 e2c2a2a2b2a21 7a2 916，所以 a216，b27，C 的方程为：x216y271(2)F1(3，0)，F2(3，0)，设 P(x0，y0)(0 x04 且 x03)，S1S2|PA|PB|PF1|PF2|5x0 x03 5x0|x03|913，当 x03 时，(5x0)29x201 不成立，3x04 时，(5x0)2x209 913，解得：x072，|y0|1058，此时 S112|AB|(5x0)34|AB|913S2 9
30、133|y0|，故|AB|9 10526(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分22(杨宪伟老师工作坊)选修 44：坐标系与参数方程(10 分)学科网（北京）股份有限公司在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 xy5，圆 M 以(3，0)为圆心且与 l 相切以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆 M 的极坐标方程；(2)若射线(02，0)与圆 M 交于点 A，B 两点，且 1|OA|1|OB|17，求直线 AB 的直角坐标方程【解析】(1)圆 M
31、的半径 r|305|1212 2，设 P(，)为圆 M 上的任意一点，则在OPM中，由余弦定理可得：2296cos，即：26cos70，故圆 M 的极坐标方程为：26cos70；(2)令，可得：26cos70，1|OA|1|OB|OA|OB|OA|OB|6cos717，解得：cos16，而 02，故 tan 35，直线 AB 的直角坐标方程为 y 35x23(杨宪伟老师工作坊)选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)|2x1|2x2|的最小值为 M(1)解关于 x 的不等式 f(x)M|2x2|；(2)若正数 a，b 满足 a22b2M，求 2ab 的最大值【解析】(1)f(x)|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3，当 x1 时可取等号，故 M3，不等式 f(x)M|2x2|等价于|2x1|3，解得：1x2，故原不等式的解集为(1，2)；(2)由柯西不等式可得：(a22b2)22(22)2(2ab)2，即：2ab3 62，当且仅当 a4b2 63 时取等号，故 2ab 的最大值为2 63 学科网（北京）股份有限公司
