1、课时跟踪检测（十八） 椭圆及其标准方程1若椭圆1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A6B7C8D9解析：选B根据椭圆的定义知，|PF1|PF2|2a2510，因为|PF1|3，所以|PF2|7.2若椭圆1的焦距为2，则m的值为()A5B3C5或3D8解析：选C由题意得c1，a2b2c2.当m4时，m415；当m|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误故选A、C.4“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B当方程1表示椭圆时，必有所以1m3且m2；
2、当m2时，方程变为x2y21，它表示一个圆故选B.5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若2|F1F2|PF1|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或1C.1D.1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.6若ABC的两个顶点坐标为A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为_解析：ABC的两个顶点坐标为A(4,0)，B(4,0)，周长为18，|AB|8，|BC|AC|10.|BC|AC|8，点C到两个定点A，B的距离之和为定值，点C的轨迹是
3、以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆2a10,2c8，b3.顶点C的轨迹方程是1(y0)答案：1(y0)7已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2的大小为_解析：|PF1|PF2|2a6，|PF2|6|PF1|2.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2，F1PF2120.答案：21208椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆的方程为_解析：如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3.又c4，a2b2c225.椭圆的标准方程为1.答案：19求符合下列条件的椭圆的
4、标准方程(1)过点和；(2)过点(3,2)且与椭圆1有相同的焦点解：(1)设所求椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过点和，解得所求椭圆的标准方程为x21.(2)由题意得已知椭圆1中a3，b2，且焦点在x轴上，c2945.设所求椭圆方程为1.点(3,2)在所求椭圆上，1.a215或a23(舍去)所求椭圆的标准方程为1.10已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程解：法一：设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得所以b2a2c212.于是所求椭圆的标准方程为1或1.法二：设所求
5、的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|.依题意有3，得b212.于是所求椭圆的标准方程为1或1.B级综合运用11椭圆1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知0，则F1PF2的面积为()A9B12C10D8解析：选A0，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a.又a5，b3，c4，2，得2|PF1|PF2|36，|PF1|PF2|18，F1PF2的面积为S|PF1|PF2|9.12已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3
6、)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5B7C13D15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.13椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点现从椭圆1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为_解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a4312.答案：1214已知椭圆1(ab0)的焦点分别是F1(0，1)，F2(0,1)，且3a24b2.(
7、1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解：(1)依题意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2a21，即a21，所以a24，b23，故椭圆的标准方程为1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|PF2|2a224.又|PF1|PF2|1，所以|PF1|，|PF2|.又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cos F1PF2.故F1PF2的余弦值等于.C级拓展探究15设F1，F2分别是椭圆y21的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，1)(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|PF2|的最大值；(2)设M是该椭圆上的一个动点，求MBF1的周长的最大值解：(1)因为椭圆的方程为y21，所以a2，b1，c，即|F1F2|2，又因为|PF1|PF2|2a4，所以|PF1|PF2|224.当且仅当|PF1|PF2|2时取等号，所以|PF1|PF2|的最大值为4.(2)因为|MF1|MB|4|MF2|MB|4|BF2|，所以MBF1的周长4|BF2|BF1|8，所以当M点位于直线BF2与椭圆的交点处时，MBF1的周长最大，最大值为8.