1、专题三数 列第一讲等差数列与等比数列1等差数列的定义数列an满足an1and(其中nN*，d为与n值无关的常数)an是等差数列2等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则ana1(n1)dam(nm)d(n，mN*)3等差中项若x，A，y成等差数列，则A，其中A为x，y的等差中项4等差数列的前n项和公式若等差数列首项为a1，公差为d，则其前n项和Snna11等比数列的定义数列an满足q(其中an0，q是与n值无关且不为零的常数，nN*)an为等比数列2等比数列的通项公式若等比数列的首项为a1，公比为q，则ana1qn1amqnm(n，mN*)3等比中项若x，G，y成等比数列，则G2
2、xy，其中G为x，y的等比中项，G值有两个4等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则Sn判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(5)G为a，b的等比中项G2ab.()(6)1bb2b3b4b5.()1在等差数列an中，a21，a45，则数列an的前5项和S5(B)A7 B15 C20
3、 D25 解析：2da4a2514d2，a1a2d121，a5a23d167，故S515.2. (2015北京卷)设an是等差数列，下列结论中正确的是(C)A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0解析：设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30， aa1a3(a1d)2a1(a12d
4、)d20， a2，故选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错3(2015新课标卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7(B)A21 B42 C63 D84解析： a13，a1a3a521， 33q23q421. 1q2q47.解得q22或q23(舍去) a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.4等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A90 B100C145 D190解析：设公差为d，则(1d)21(14d)d0，解得d2，100.一、选择题1已知等差数列an中，前n项和
5、为Sn，若a3a96，则S11(B)A12 B33 C66 D99解析：an为等差数列且a3a96，a6a6a3a96.a63.S11111111a611333.2在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则数列an的前6项和S6(B)A120 B140 C160 D180解析：an为等比数列，a1a2，a3a4，a5a6为等比数列(a3a4)2(a1a2)(a5a6)即a5a680.S6a1a2a3a4a5a6204080140.3已知数列an的前n项和Snn22n1，则a3a17(C)A15 B17 C34 D398解析：Snn22n1，a1S112212.当n2时，anSnSn1n
6、22n1(n1)22(n1)1n2(n1)22(n1)2n11n2n22n12n22n2n3.ana3a17(233)(2173)33134.4(2014陕西卷)原命题为“若an，nN*，则an为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A)A真，真，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假解析：由anan1anan为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若an为递减数列，则an，nN；若an为递减数列，则an1an，即an，所以逆命题为真；否命题：若an，nN，则an不为递减数列；由ananan1an不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真
7、假相同，所以逆否命题也为真命题故选A.5某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为(C)A5 B7 C9 D11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m9，因此选C.二、填空题6(2015安徽卷)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于27解析：由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a191827.7设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q解析：将S23a22，S43a42两个式子全部转化成用
8、a1，q表示的式子，即两式作差得：a1q2a1q33a1q(q21)，即：2q2q30，解得q或q1(舍去)8(2014广东卷)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a4log2a55解析：由题意知a1a5a4，且数列an的各项均为正数，所以a32，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a)2a3a25，log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255.三、解答题9已知数列an满足，a11，a22，an2 ，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列； (2)求an
9、的通项公式解析：(1)b1a2a11，当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，所以bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知bnan1an，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1111，当n1时，1a1.所以an(nN*)10(2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1.又bn，所以Tnb1b2bn1.