1、1.1.2瞬时速度与导数平均变化率的概念：一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点则当x0时，商称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。00()()f xxf xyxx 记x=x1x0=f(x0+x)f(x0).则y=y1y0=f(x1)f(x0)1.式子中x、y的值可正、可负，但x值不能为0，y 的值可以为0；1010()()f xf xxx00()()f xxf xyxx 2 变式 00()()f xxf xyxx 平均变化率O1xxyxyy=f(x)1yB0 x0yA已知物体运动位移和时间关系为 sf t00ttt从 到这段时间内函
2、数的平均变化率为v 00f ttf tt st 引例s sf ttst0t0tt 0t 当时，slt 常数0l则 叫做物体在t 时刻的瞬时速度（读作“趋近于”）即为物体运动的平均速度。问题情境:跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度。(1)计算运动员在2s到2.1s(t2,2.1)内的平均速度。(2.1)(2)13.59(/)2.12HHvm s(2)计算运动员在2s到2+t s(t2,2+t)内的平均速度。时间区间 t 平均速度2，2.10.1-13.592,
3、2.010.01-13.1492,2.0010.001-13.10492,2.00010.0001-13.100492,2.000010.00001-13.1000492,2.0000010.000001-13.10000490,?tv观察 当趋近于 时 平均速度 有什么样的变化趋势时间区间 t 平均速度 1.9，2 0.1 -12.61 1.99,2 0.01 -13.051 1.999,2 0.001 -13.0951 1.9999,2 0.0001 -13.09951 1.99999,2 0.00001-13.099951 .,1132220个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从
4、大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。度：，也可以计算出瞬时速一般地，对任一时刻 0tt9.45.6t8.9tt5.6t9.4tt9.42tt5.6t9.410tt5.6tt9.410tthtth02002002000）（）（）（）（）（5.6t8.90t0 时，上式右边趋近于趋近于当s/m5.6t8.9t00），运动员的速度是（这就是说，在时刻之间的平均变化率到）在（以上分析表明，函数tttth00tthtth00）（）（5.6t8.90t0 时，趋于常数趋近于当时刻的瞬时速度我们把它称为 0t设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。以t0为起
5、始时刻，物体在t时间内的平均速度为vttfttfts)()(00。就是物体在t0时刻的瞬时速度，即所以当t0时，比值vttfttfts)()(00。瞬时速度st趋近于一个常数l00()()0f ttf ttlt 当时,一个常数函数的瞬时变化率：函数y=f(x)，在x0及其附近有意义，自变量在x=x0附近改变量为x平均变化率为00()()f xxf xyxx f(x0+x)f(x0).则函数值相应的改变y=00()()f xxf xyxx 当x 0 时，常数l常数称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率l000()()limxf xxf xlx 上述过程记作000000|lim.x xxf xxf
6、xfxyfxx 记作或即 处的在我们称它为函数处的瞬时变化率是在函数一般地00000,lim,xxxfyxxfxxfxxxfyx导数 00.fxfxx表示函数点y在处的导数=()()xfxyy或或即00()()()limlimxxyf xxf xyfxxx 如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x，都对应着一个确定的导数这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作 fx例1.求y=x2在点x=1处的导数 解：222(1)1(
7、1)12()yfxfxxx 22()2yxxxxx 001limlim(2)212xxyfxxf 由定义求导数（三步法）步骤:变式1.求y=x2+2在点x=1处的导数解：xxxxxyxxxy2)(22)()21(2)1(22222|201xyxyx时，当);()()1(00 xfxxfy求函数的增量;)()()2(00 xxfxxfxy求平均变化率.lim)()3(00 xyxfx取极限，得导数（求极限时，若经整理后分母不含，则令其为0即可）x 练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数 在x=2处的导数.222(1)(1)12(),yxxx 解：,2)(22xxxxxy.2|,
8、201xyxyx时，当,)2(2)212(21)2()2(xxxxxy,)2(211)2(2xxxxxxy.43|,43,02xyxyx时当xxy1例1火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？解：火箭的运动方程为h(t)=100t gt2，21在t附近的平均变化率为22211100()()100221100()2ttg tttgtttgt ttgtt =100gtgt。12当t0时，上式趋近于100gt。可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。令h(t)=100gt=0，解得10010010.2()9.8tsg所以火箭熄火后约10.2s向上的
9、速度变为0.0001,|,2.:x xyxxxyx已知函数在处附近有定义 且求 的值例,:00 xxxy解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211,0000 xxxxxyx时当.1,2121,21|000 xxyxx得由例3.求函数y=x2在点x=3处的导数。解：因为y=(3+x)232=6x+(x)2.所以yx=6+x，令x0，yx6所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.例4质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。解：因为s=a(t+t)2+1(at2+1)=2att+a(t)2，所以=2at
10、+at，st当t0时，s=2at，由题意知t=2时，s=8，即4a=8，解得a=2.例5已知y=ax2+bx+c，求y及y|x=2。解：y=a(x+x)2+b(x+x)+c(ax2+bx+c)=(2ax+b)x+a(x)2，=(2ax+b)+ax，yx当x0时，y=2ax+b，当x=2时，y|x=2=4a+b。练习题1一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间2,2.1内相应的平均速度为（）A0.41 B3 C4 D4.1 D2设y=f(x)函数可导，则等于（）Af(1)B不存在C f(1)D3f(1)xfxfx3)1()1(lim031C3设，则等于（）ABCDxxf1)(axafxfax)()(lima1a221a21aC4若f(x)=x3，f(x0)=3，则x0的值是（）A1 B1 C1 D33C5设函数f(x)=ax3+2，若f(1)=3，则a=_。16函数y=2mx+n的瞬时变化率是.2m7函数在x=1处的导数是.xxy11|0 xy 小结：函数的瞬时变化率、导数函数f(x)在x0处的瞬时变化率就是在x=x0处的导数求导数的一般步骤