1、课时跟踪检测（二十） 直线与椭圆的位置关系A级基础巩固1已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1B1或2C2D0解析：选C因为直线过定点(3，1)且1，所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点2若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A.BCD解析：选C把ykx2代入1，得(23k2)x212kx60，由题意知0，k2，k.3过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A.B.C.D.解析：选B易求直线AB的方程为y(x)由消去y并整理，得7x212x80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x
2、2.由弦长公式，得|AB|x1x2| .4已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6B15C20D12解析：选D由题意知，SABF|OF|y1y2|OF|2b12.5已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：选C设直线xy50与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y22，直线AB的斜率k1.由得0，1，故椭圆的离心率e.故选C.6已知椭圆1，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|_.解析：易求得a5，b4，所以|AB|.答
3、案：7某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：焦距为nm；短轴长为；离心率e.其中正确说法的序号为_解析：由题意，得nRac，mRac，可解得2cnm，a，2b22，e，故正确，不正确答案：8过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题意知，右焦点的坐标为(1,0)，直线的方程为y2(x1)，将其与1联立，消去y，得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x20，所以|AB|x1x2|.
4、设原点到直线的距离为d，则d.所以SOAB|AB|d.答案：9已知椭圆4x2y21及直线yxm，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21，得4x2(xm)21，即5x22mxm210.(*)则(2m)245(m21)16m2200，解得m.设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2，x1x2.根据弦长公式，得，解得m0.因此，所求直线的方程为yx.10.如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解
5、：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1，即1，解得a23，b22，所以椭圆方程为1.B级综合运用11直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选B设椭圆的方程为1(ab0)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，不妨设直线方程为1.椭圆的中心到l的距离为其短轴长的，即4b2，3，3，e.故选B.12若点(x，y)在椭圆4x2y24上，则的最小值为()A1B1CD以上都不对解析：选C
6、设k，则yk(x2)由消去y，整理得(k24)x24k2x4(k21)0，16k444(k21)(k24)0，解得k，kmin.选C.13已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点坐标为(3,0)，|1，且0，则|的最小值是_解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点0，.|2|2|2|21，椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|min2，|min.答案：14在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设直线ykx1与C交于A，B两点，k为何值时？此时|AB|的值是多少解：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，)
7、，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b1.故曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，并整理，得(k24)x22kx30.由根与系数的关系得x1x2，x1x2.若，则x1x2y1y20.因为y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1，所以x1x2y1y210，所以k.当k时，x1x2，x1x2.所以|AB| .C级拓展探究15有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置这时矩形的周长是多少？解：分别以椭圆的长轴、
8、短轴所在的直线为x轴、y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图的平面直角坐标系xOy.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称已知椭圆的长轴长2a100 m，矩轴长2b60 m，则a50 m，b30 m，所以椭圆的方程为1.设点A的坐标为(x0，y0)，x00，y00，则1，即y(502x)根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S4x0y0.xyx(502x)2，当x时，xy取得最大值，此时S也取得最大值这时x025，y015.矩形ABCD的周长为4(x0y0)4(2515)160(m)因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160 m.