1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 三十一数列(含递推公式)(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知数列an的通项公式an=2n-4,nN*,若它的第k项满足2ak5,则k=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.数列an的第k项满足2ak5,即22k-45,解得3k4.5.因为kN*,所以k=4.2.若数列an的前n项和Sn满足Sn=4-an(nN*),则a5=()A.16 B. C.8D.【解析】选D.当n=1时,a1=S1=4-a1,所以a1=2;当n2时,an=S
2、n-Sn-1=an-1-an,所以an=an-1,所以数列an是以2为首项,以为公比的等比数列,所以a5=2=.3.函数f(x)由下表定义:x25314f(x)12345若a0=5,an+1=f(an)(nN),则a2 021的值为()A.1 B.2 C.4D.5【解析】选B.因为a0=5,an+1=f(an),所以a1=f(a0)=f(5)=2,a2=f(a1)=f(2)=1,a3=f(a2)=f(1)=4,a4=f(a3)=f(4)=5,a5=f(a4)=f(5)=2,所以a1=a5.所以an是以4为周期的周期数列.所以a2 021=a1=2.4.已知数列an的通项公式为an=(nN*).
3、则下列说法正确的是()A.这个数列的第10项为B.是该数列中的项C.数列中的各项都在区间内D.数列an是单调递减数列【解析】选C.an=.令n=10,得a10=,故选项A不正确;令=,得9n=300,此方程无正整数解,故不是该数列中的项,故选项B不正确;因为an=1-,又nN*,所以数列an是单调递增数列,所以an1,所以数列中的各项都在区间内,故选项C正确,选项D不正确.【变式备选】在数列an中,a1=3,an+1=an+,则通项公式an=_.【解析】原递推公式可化为an+1-an=-,所以a2-a1=-,a3-a2=-,an-an-1=-,逐项相加得an-a1=1-+-+-=1-,所以an
4、=4-(n2),经检验n=1也满足,故an=4-.答案:4-5.(多选)若数列an满足2(nN*),则称an是“紧密数列”.若an(n=1,2,3,4)是“紧密数列”,且a1=1,a2=,a3=x,a4=4,则x的值可以是()A.1B.2C.3D.【解析】选BC.依题意可得解得2x3,故x的取值范围为2,3,故选BC.6.在数列an中,a1=1,an+1-an=sin,记Sn为数列an的前n项和,则S2 021=()A.0B.2 020C.1 011D.2 021【解析】选C.由a1=1及an+1-an=sin,得an+1=an+sin,所以a2=a1+sin =1,a3=a2+sin=0,a
5、4=a3+sin=0,a5=a4+sin=1,a6=a5+sin=1,a7=a6+sin=0,a8=a7+sin=0,可见数列an为周期数列,周期T=4,所以S2 021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=1 011.7.在数列an中,其前n项和为Sn,且Sn=an,则的最大值为()A.-3B.-1C.3D.1【解析】选C.当n2时,Sn=an,Sn-1=an-1.两式作差可得an=Sn-Sn-1=an-an-1,则=1+,据此可得,当n=2时,取到最大值3.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020昆明模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研究过图中
6、的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律继续下去,第n个五角形数an=_.【解析】观察图形,发现a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(3n-2)+3(n-1)-2+(32-2)+1=n2-n.答案:n2-n【变式备选】将数列an中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10记数阵中的第1列数a1,a2,a4,构成的数列为bn,Sn
7、为数列bn的前n项和.若Sn=2bn-1,则a56=_.【解析】当n2时,因为Sn=2bn-1,所以Sn-1=2bn-1-1,所以bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1(n2且nN*),因为b1=2b1-1,所以b1=1,所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,所以bn=2n-1.设a1,a2,a4,a7,a11,的下标1,2,4,7,11,构成数列cn,则c2-c1=1,c3-c2=2,c4-c3=3,c5-c4=4,cn-cn-1=n-1,累加得,cn-c1=1+2+3+4+(n-1),所以cn=+1,由cn=+1=56,得n=11,所以a56=b11=210=1 024.答案
8、:1 0249.(2020济南模拟)设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,=2Sn+1,nN*,则a1=_,S5=_.【解析】方法一:由解得a1=1.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+=3,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以Sn+=3n-1,即Sn=,所以S5=121.方法二:由解得又an+1=2Sn+1,an+2=2Sn+1+1,两式相减得an+2-an+1=2an+1,即=3,又=3,所以an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an+1=3n,所以Sn=,所以S5=121.答案:112110.(2020广州模拟)已知数列an中,a1=2,
9、n(an+1-an)=an+1,nN*,若对于任意的a-2,2,nN*,不等式2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为_.【解析】n(an+1-an)=an+1nan+1=(n+1)an+1,即-=-,由累加法可得:=+a1,即=+2=3-3,对于任意的a-2,2,nN*,不等式a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN*).所以数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+=1+,已知对任意的nN*,都有ana6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知56,即-10a0),求导得f(x)=-+1.令f(x)0,解得x;令f(x)0,解得0x.所以f(x)=+x-1在(,+)上是递增的,在(0,)上是递减的.因为nN*,所以当n=5或n=6时,f(n)取得最小值.又因为=,=,所以的最小值为.答案:关闭Word文档返回原板块