1、瞬时速度与导数00()()f xxf xx 1.函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比 2.函数平均变化率的几何意义 过曲线上的点割线的斜率。()yf x00(,()xf x 和00(x,(x)xf x复习提问：距离水面的高度运动员在时刻垂直向上的速度为跳台时米跳台上，运动员跳离设在引例t/m5.610:st5.6gt2110th2）（t5.6t9.410ths/m8.9gg22）（，于是为重力加速度，其中?2,?,.,是多少时的瞬时速度比如度呢如何求运动员的瞬时速那么度在某时刻的瞬时速他平均速度不一定能反映运动员的的速度称为我们把物体在某一时刻度是不同的运动员在不同时刻的速在高台
2、跳水运动中t瞬时速度.,2,22,2.22,0;22,0.0,2,2.2可以得到如下表格内平均速度和区间计算区间之后在时当之前在时当但不为也可以是负值可以是正值是时间的改变量取一个时刻任意之前或之后在附近的情况我们先考察vttttttttttttt113942.11394.t;.,.05113010vt时当;.,.0951130010vt时当;.,.099511300010vt时当;.,.09995113000010vt时当;.,.0999951130000010vt时当 tthhvtt2222220这段时间内在时,2222220ththvtt这段时间内在时,ttt113942.11394.t
3、;.,.14913010vt时当;.,.1049130010vt时当;.,.100491300010vt时当;.,.10004913000010vt时当;.,.1000049130000010vt时当?,有什么样的变化趋势平均速度时趋近于当观察vt0.,1132220个确定的值平均速度都趋近于一时一边趋近于还是从大于的一边从小于即无论时趋近于当我们发现tt./.,.,|,smttvt11322时的瞬时速度是员在运动因此时的瞬时速度就无限趋近于速度平均无限变小时时间间隔从物理的角度看.1.13,0,21.1322lim,0定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt.0
4、221.13时的极限趋近于当是我们称确定值tthth度：，也可以计算出瞬时速一般地，对任一时刻 0tt9.45.6t8.9tt5.6t9.4tt9.42tt5.6t9.410tt5.6tt9.410tthtth02002002000）（）（）（）（）（5.6t8.90t0 时，上式右边趋近于趋近于当s/m5.6t8.9t00），运动员的速度是（这就是说，在时刻之间的平均变化率到）在（以上分析表明，函数tttth00tthtth00）（）（5.6t8.90t0 时，趋于常数趋近于当时刻的瞬时速度我们把它称为 0t二、概念形成概念1.瞬时速度 一般地，对于任意时刻t0，对于s=s(t)，当t0时，
5、所趋近的常数值就是s=s(t)在t0处的瞬时速度。00()()s tts tt 二、概念形成概念2.函数的瞬时变化率 设函数 在 及其附近有定义，当自变量在x=x0附近改变量为 时，函数值相应的改变量 如果当 时，平均变化率 趋近于一个常数 ，那么常数 称为函数 在点 处的瞬时变化率。0 xx()yf x00()()yf xxf x 0 x 00()()f xxf xyxx ll()yf x0 x二、概念形成概念3.导数的概念 “当 时，平均变化率 趋近于常数 ”记作：0 x 00()()f xxf xyxx l0000()()limlimxxf xxf xylxx 函数 在 处的瞬时变化率，
6、通常称为 在点 处的导数。()yf x0 x()f x0 x记作：或 0()fx0|x xy（1）函数 在 处的导数：()yf x0 x（2）导函数：如果函数 f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导这时，对于开区间(a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作)()(xyyxf需指明自变量时记作或即 xxfxxfxyyxfxx)()(limlim)(00二、概念形成 概念3.导数的概念 说明：弄清“函数f(x)在
7、点 处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量 的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数 yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时,对于开区间内每一个 确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间 (a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。（4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf（3）函数的导数，是指某一区间内任意
8、点x而言的,就是 函数f(x）的导函数。x0由定义求导数（三步法）Axyx,0)3(时取极限)()()1(00 xxfxfy求增量xfxfxyxx)()()2(00平均变化率）求比值例1火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？解：火箭的运动方程为h(t)=100t gt2，21在t附近的平均变化率为22211100()()100221100()2ttg tttgtttgt ttgtt =100gtgt。12当t0时，上式趋近于100gt。可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。令h(t)=100gt=0，解得10010010.2()9.8ts
9、g所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.例2一正方形铁板在0C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为tC时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。解：设温度的增量为t，则铁板面积S的增量S=1021+a(t+t)2102(1+at)2=200(a+a2t)t+100a2(t)2.St因此=200(a+a2t)+100a2t.令t0，得S=200(a+a2t).所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t).例3.求函数y=x2在点x=3处的导数。解：因为y=(3+x)2-32=6x+(x)2.所以yx=6+x，令x0，yx6所以函数y=x2在点x=3处
10、的导数为6.例4质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。解：因为s=a(t+t)2+1(at2+1)=2att+a(t)2，所以=2at+at，st当t0时，s=2at，由题意知t=2时，s=8，即4a=8，解得a=2.1设y=f(x)函数可导，则等于（）Af(1)B不存在C f(1)D3f(1)xfxfx3)1()1(lim031C课堂练习：2若f(x)=x3，f(x0)=3，则x0的值是（）A1 B1 C1 D33C3设函数f(x)=ax3+2，若f(1)=3，则a=_。14函数在x=1处的导数是.xxy11|0 xy 课堂小结1.
11、导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。2.要切实掌握求导数的三个步骤：1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量 的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是 函数f(x）的导函数。（3）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数 yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时,对于开区间内每一个 确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间 (a,b)内 可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。（4）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf