1、平面解析几何第九章第九节直线与圆、圆与圆的位置关系高考概览1.能够把直线与抛物线位置关系问题转化为研究方程的解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题；2.进一步体会数形结合分类讨论的思想.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1直线与抛物线的位置关系联立y22px，ykxm，得 k2x22(mkp)xm20.(1)相切：k20，0；(2)相交：k20，0；(3)相离：k20，0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B 在准线上的射影为 A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2p24，y1y2p2；(2)弦长|AB|x1x2p 2p
2、sin2(其中 为直线 AB 的倾斜角)；(3)抛物线的通径长为 2p，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF|1|BF|2p为定值；(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(6)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切；(7)以 A1B1 为直径的圆与直线 AB 相切，切点为 F，A1FB190；(8)A，O，B1 三点共线，B，O，A1 三点也共线(9)SAOB p22sin(其中 为直线 AB 的倾斜角)3非焦点弦性质已知直线 l 与抛物线 y22px(p0)交于 A、B 两点，若 OAOB，则直线 l 过定点(2p,0)，反之亦成立小题速练1过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y
3、24x 仅有一个公共点，这样的直线有()A1 条 B2 条 C3 条 D4 条解析 画出图形可知 y 轴是 y24x 的一条切线，与 y24x仅有一个公共点，设 ykx1，与 y24x 联立，得 k2x2(2k4)x10，当 k0 时，y1 与 y24x 只有一个交点当 k0 时，由(2k4)24k20 得 k1，k1 时直线和抛物线只有一个交点，故选 C.答案 C2(2017东北三校联考)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP
4、3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析 由抛物线定义知|FP1|x1p2，|FP2|x2p2，|FP3|x3p2，2x2x1x3，2|FP2|FP1|FP3|，选 C.答案 C3(2017辽宁五校期末联考)已知 AB 是抛物线 y22x 的一条焦点弦，|AB|4，则 AB 中点 C 的横坐标是()A2 B.12 C.32 D.52解析 由 y22x，得 p1，画出图形设抛物线准线为 l，作 AA1l，BB1l，CC1lA1、B1、C1 分别为垂足，则由梯形中位线有|CC1|AA1|BB1|2|AF|BF|2|AB|2 2，又|CC1|xC122.xC32，选
5、C.答案 C4(2017西安八校联考)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y 3(x1)与 C 交于 A，B(A 在 x 轴上方)两点若AFmFB，则 m 的值为_解析 由题意知 F(1,0)，由y 3x1，y24x，解得x113，y12 33 2 33舍去，x23，y22 32 3舍去.由 A 在 x 轴上方，知 A(3,2 3)，B13，2 33，则 A F(2，2 3)，F B23，2 33，因为 A FmFB，所以 m3.答案 35(2018长沙调研)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积
6、为_解析 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|2psin2232sin23012，结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 dp2sin3038，所以OAB 的面积 S12|AB|d94.答案 94 考点突破 提能力 研一研 练一练 考点通关考点一 直线与抛物线的位置关系偶考点 已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(1,0)，抛物线 E：x22py 的焦点为 M.(1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；(2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求OAB 的面积 思 路 引 导 (1)设直线l的方程 与抛物线联立，消去y，得关于x的方程 对
7、二次项系数分类讨论 求出直线方程(2)SOAB 以 OF 为底，|y1y2|为高，只需求出|y1y2|即可解(1)由题意得抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F(1,0)，抛物线 E：x22py 的焦点为 M，所以 p2，M(0,1)，当直线 l 的斜率不存在时，x0，满足题意；当直线 l的斜率存在时，设方程为 ykx1，代入 y24x，得 k2x2(2k4)x10，当 k0 时，x14，满足题意，直线 l 的方程为 y1；当 k0 时，(2k4)24k20，所以 k1，方程为 yx1，综上可得，直线 l 的方程为 x0 或 y1 或 yx1.(2)结合(1)知抛物线 C 的方程为 y24
8、x，直线 MF 的方程为 yx1，联立y24x，yx1，得 y24y40，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24，y1y24，所以|y1y2|4 2，所以 SOAB12|OF|y1y2|2 2.在直线与抛物线位置关系中，待定系数法求直线方程时，易忽略斜率不存在的情况，以至于漏掉某种情况产生漏解，同时注意对关于 x 的方程二次项系数的讨论跟踪演练1(2017湖北武汉武昌调研改编)已知直线 yk(x2)与抛物线：y212x 相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 y轴的垂线交 于点 N.证明：抛物线 在点 N 处的切线与 AB 平行证明 由ykx2，y212x，
9、消去 y 并整理，得 2k2x2(8k21)x8k20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k212k2，x1x24，xMx1x228k214k2，yMk(xM2)k8k214k2 2 14k.由题意得 yNyM 14k，xN2y2N 18k2，N18k2，14k.设抛物线 在点 N 处的切线 l 的方程为 y 14kmx 18k2，将 x2y2 代入上式，得 2my2y 14k m8k20.直线 l 与抛物线 相切，1242m14k m8k2 mk2k20，mk，即 lAB.2(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C
10、：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|OH|ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解(1)由已知得 M(0，t)，Pt22p，t.又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Nt2p，t，ON 的方程为 yptx，代入 y22px，整理得 px22t2x0，解得 x10，x22t2p.因此 H2t2p，2t.所以 N 为 OH 的中点，即|OH|ON|2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：直线 MH 的方程为 ytp2tx，即 x2tp(yt)代入 y22px 得
11、y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共点考点二 焦点弦问题热考点(1)(2017全国卷)已知 F 为抛物线 S：y24x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 S 交于 A，B 两点，直线 l2 与 S 交于 C，D 两点，则|AB|CD|的最小值为()A16 B14 C12 D10(2)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：y1y2p2，x1x2p24；1|AF|1|BF|为定值；以 AB 为直径的
12、圆与抛物线的准线相切 思 路 引 导 (1)设出直线l1的方程 与抛物线方程联立 求出xAxB 同理求出xCxD 写出|AB|CD|的关系 求最值(2)设出直线 AB 方程，与 y22px 联立，利用“设而不求，整体代换”求证解析(1)抛物线的焦点 F 坐标为(1,0)，由题意知直线 AB、CD 的斜率均存在，设直线 AB 方程为 yk(x1)(k0)，则 CD方程为 y1k(x1)，分别代入 y24x 得，k2x2(2k24)xk20及1k2x22k24 x1k20，|AB|xAxBp24k22，|CD|xCxDp24k22，|AB|CD|84k24k216，当且仅当 k21 时取等号，所以
13、，|AB|CD|的最小值为 16.(2)由已知得抛物线焦点坐标为p2，0.由题意可设直线 AB 方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp2，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2 是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2 p44p2p24.1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得 1|AF|1|BF|AB|p24 p2|AB|pp242p(定值)设 AB 的中点为 M(x0
14、，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切答案(1)A(2)见解析焦点弦在抛物线中的应用很广泛，一是注意解题方法，二是熟悉有关结论在解决选择题、填空题时若能正确运用焦点弦的性质(结论)能起到事半功倍的效果注意本例(2)中直线方程的设法可以在消元时得到的方程比较简单不易出错本例(1)也可将直线 l1 的方程设为 xmy1 与 y24x 联立，消去 x，大家可以试一试跟踪演练1已知过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线
15、 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A，B 两点，则|AF|BF|的值为()A5 B4 C3 D2解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p2psin2608p3，x1x25p3.又因为 x1x2p24，所以 x13p2，x2p6，所以|AF|BF|32pp2p2p63.故选 C.答案 C2(2017宁夏银川五模)如图，抛物线 y24x 的一条弦 AB 经过焦点 F，取线段 OB 的中点 D，延长 OA 至点 C，使|OA|AC|，过点 C，D 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 E，G，则|EG|的最小值为_解析 设直线 AB 的方程为 xmy1，与 y24x 联立并
16、消去 x，可得 y24my40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 y10，则 y1y24m，y1y24，所以|EG|y222y1y228y24，当且仅当y228y2，即 y24 时，取等号故|EG|的最小值为 4.答案 4考点三 抛物线的综合问题热考点(2017北京卷)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1,1)过点0，12 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点(1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段 BM 的中点思路引导(1)点 P 的坐标代入 y22
17、px求出 p得结论解(1)由抛物线 C：y22px 过点 P(1,1)，得 p12.所以抛物线 C 的方程为 y2x.抛物线 C 的焦点坐标为14，0，准线方程为 x14.(2)证明：由题意，设直线 l 的方程为 ykx12(k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)由ykx12，y2x得 4k2x2(4k4)x10.即 x1x21kk2，x1x2 14k2.因为点 P 的坐标为(1,1)，所以直线 OP 的方程为 yx，点 A的坐标为(x1，y1)直线 ON 的方程为 yy2x2x，点 B 的坐标为x1，y2x1x2.因为 y1y2x1x2 2x1y1x2y2x1
18、2x1x2x2kx112 x2kx212 x12x1x2x22k2x1x212x2x1x22k2 14k21k2k2x20，所以 y1y2x1x2 2x1.故 A 为线段 BM 的中点解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点
19、差法”求解跟踪演练(2017贵州毕节期末)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y2 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|2|PQ|.(1)求 C 的方程(2)判断 C 上是否存在两点 M，N，使得 M，N 关于直线 l：xy40 对称若存在，求出|MN|；若不存在，请说明理由解(1)由题意知 P(0,2)，Q(x0,2)将点 Q 的坐标代入 y22px(p0)，解得 x02p.|PQ|2p，|QF|p22p.由题设得p22p22p，解得 p2(舍去)或 p2.C 的方程为 y24x.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 kMN4y1y2，线段 MN 的中点 T 的坐标为y21y228，y1y12.点 M，N 关于直线 l 对称，MNl，中点 T 在直线 l 上，4y1y21，y21y228y1y2240.由可得 y1y24，y1y20，y10，y24.C 上存在两点 M(0,0)，N(4,4)，且|MN|4 2，使得 M，N关于直线 l 对称