1、23.2 圆与圆的位置关系考 纲 定 位重 难 突 破1.能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系2.能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程3.了解用代数方法处理几何问题的思想.重点：对两圆内切、外切时位置关系的判断和应用难点：常与方程、有关圆的平面几何知识结合命题方法：用坐标法解决与圆有关的平面几何问题.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理圆与圆的位置关系及判定已知两圆 C1：(xx1)2(yy1)2r21，C2：(xx2)2(yy2)2r22，则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d|C1C2|.
2、则两圆 C1，C2有以下位置关系x1x22y1y22位置关系公共点个数圆心距与半径图形表示两圆相离dr1r2两圆内含d|r1r2|0位置关系公共点个数圆心距与半径图形表示两圆相交|r1r2|dr1r2两圆内切d|r1r2|两圆外切dr1r2,21 双基自测1圆(x2)2(y2)29 与圆 x2y21 的位置关系是()A相离B外切C相交D内含解析：两圆的圆心分别是(2，2)，(0,0)，半径分别是 3 和 1，所以圆心距为2022022 2，22 2 2 3，所以两圆相离，所以两圆有 4 条公切线答案：D4已知两圆 x2y210 和(x1)2(y3)230 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的
3、方程是_解析：把圆(x1)2(y3)230 的方程化为 x2y22x6y20，与圆 x2y210 两边相减，得 2x6y10，即 x3y50 为直线 AB 的方程答案：x3y505已知两圆 x2y21 和(x2)2(ya)225 没有公共点，则实数 a 的取值范围为_解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(2，a)，半径分别为 1,5，圆心距 d0220a2 a24.两圆没有公共点，a2451 或 a2451，解得2 3a2 3或 a4 2或 a4 2.答案：(，4 2)(2 3，2 3)(4 2，)探究一 圆与圆的位置关系判定典例 1 已知圆 C1：x2y22mx4ym250 与圆 C
4、2：x2y22x0.(1)当 m1 时，圆 C1 与圆 C2 是什么关系？(2)当 m4 时，圆 C1 与圆 C2 是什么关系？(3)若两圆有三条公切线，求实数 m 的值；(4)是否存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含？解析(1)m1.两圆的方程分别可化为 C1：(x1)2(y2)29.C2：(x1)2y21.两圆的圆心距 d 112222 2，又r1r2314，|r1r2|31|2，|r1r2|dr1r2.圆 C1 与圆 C2 相离(3)圆 C1 的方程为(xm)2(y2)29，圆心 C1(m，2)，半径 r13，圆 C2 的方程为(x1)2y21，圆心 C2(1,0)，半径 r21，当
5、两圆有三条公切线时，它们相外切，因此|C1C2|r1r2，即 m12224，解得 m12 3.(4)假设存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含，则 m122231，即(m1)220，显然不等式无解故不存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含1判断两圆的位置关系，通常采用几何法，而不是用两圆公共点的个数来判断，因为它们之间并不是一一对应关系，如两圆只有一个公共点时，两圆可能内切，也可能外切；两圆没有公共点时，它们可能相离，也可能内含，无法确定是哪一种位置关系2利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行：(1)计算两圆的半径 r1，r2；(2)计算两圆的圆心距 d;(3)得出 d，r1，r2 之
6、间的等量(不等量)关系；(4)判断两圆的位置关系1当 a 为何值时，两圆 C1：x2y22ax4ya250 和 C2：x2y22x2aya230 的位置关系为：(1)外切？(2)相交？(3)外离？解析：将两圆的一般方程写成标准方程得，C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24，所以两圆的圆心和半径分别为：C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22.设两圆的圆心距为 d，则 d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当 d5，即 2a26a525 时，两圆相切，此时 a5 或 a2.(2)当 1d5，即 12a26a525 时，两圆相交，此时5a2 或1a2.(3)当 d5
7、，即 2a26a525 时，两圆外离，此时 a2 或 a5.探究二 圆与圆相切的问题典例 2 试求与圆(x2)2(y1)24 相切于点(4，1)，且半径等于 1 的圆的方程解析 设所求圆的圆心为 P(a，b)，所以 a42b121.若两圆外切，则有 a22b12123.由，解得 a5，b1.所以所求圆的方程为(x5)2(y1)21.若两圆内切，则有 a22b12211.由，解得 a3，b1.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)21.综上，可知所求圆的方程为(x5)2(y1)21 或(x3)2(y1)21.求公切线的五个步骤(1)判断公切线的条数(2)设出公切线的方程(3)利用切线性质建立所设字
8、母的方程，求解字母的值(4)验证特殊情况下的直线是否为公切线(5)归纳总结注意对于求公切线问题，不要漏解，应先根据两圆的位置关系来判断公切线的条数2求与圆 M：(x1)2y21 外切，且与直线 x 3y0 相切于点 Q(3，3)的圆 N的方程解析：设所求圆 N 的圆心为 N(a，b)，半径为 r.因为所求圆 N 与直线 x 3y0 相切于点 Q(3，3)，所以直线 NQ 垂直于直线 x 3y0，所以 kNQb 3a3 3，即 b 3a4 3，圆 N 的半径 r|NQ|a32b 32 a32 3a4 3 322|a3|.因为圆 N 与圆 M：(x1)2y21 外切，所以|MN|a12b21r12
9、|a3|，即 a123a4212|a3|.对该式讨论如下：当 a3 时，可得 a4，b0，r2，所以圆 N 的方程为(x4)2y24；当 a3 时，可得 a0，b4 3，r6，所以圆 N 的方程为 x2(y4 3)236.于是所求圆 N 的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236.探究三 圆与圆相交的问题典例 3 已知圆 O：x2y225 和圆 C：x2y24x2y200 相交于 A，B 两点(1)求线段 AB 的垂直平分线的方程；(2)求 AB 所在直线的方程；(3)求公共弦 AB 的长度解析(1)由于两圆相交于 A，B 两点，所以线段 AB 的垂直平分线就是两圆的圆心的连线又圆
10、O：x2y225 的圆心 O(0,0)，圆 C：(x2)2(y1)225 的圆心 C(2,1)，所以 kOC12，由点斜式得 y12x，即 x2y0.故 AB 的垂直平分线的方程为 x2y0.(2)将两圆方程相减即得公共弦 AB 所在直线的方程为 4x2y50.(3)圆 x2y225 的圆心到直线 AB 的距离 d|5|20 52，所以公共弦 AB 的长|AB|2 r2d222554 95.1两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法：若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20，即两圆方程
11、相减即得2公共弦长的求法：(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解3已知圆 C1：x2y22x6y10，圆 C2：x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长解析：设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标是方程组x2y22x6y10 x2y24x2y110 的解，得：3x4y60.A，B 两点的坐标都满足此方程，3x4y60 即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆 C1的圆心(1,3)，半径 r3.又 C1 到直线
12、 AB 的距离为d|13436|324295.|AB|2 r2d22 32952245.即两圆的公共弦长为245.巧用圆系方程解题典例 求圆心在直线 xy0 上，且过两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y80 的交点的圆的方程解析 设所求圆的方程为 x2y22x10y24(x2y22x2y8)0，即(1)x2(1)y2(22)x(210)y8240，同除以 1 可得，x2y2221 x2101 y8241 0，此圆的圆心 P11，51.又因为圆心在直线 xy0 上，所以11510，得 2.所以所求圆的方程为 x2y26x6y80.感悟提高 1.一般地，过圆 C1：x2y2D1xE
13、1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆的方程可设为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程2利用圆系，恰当设出所求圆的方程是解本题的关键，将方程整理后，圆心坐标的表示要准确最后的结果要整理成圆的一般方程(或标准方程)随堂训练1圆 C1：x2y24x4y70 和圆 C2：x2y24x10y130 的公切线有()A1 条 B3 条C4 条D以上均不正确解析：C1(2,2)，r11，C2(2,5)，r24，|C1C2|5r1r2，两圆相外切，因此公切线有 3 条，因此选 B.答案：B2圆 x2y22x50 和圆 x2y
14、22x4y40 的交点为 A、B，则线段 AB 的垂直平分线的方程为()Axy10 B2xy10Cx2y10 Dxy10解析：圆 x2y22x50 化为标准方程是(x1)2y26，其圆心是(1,0)；圆 x2y22x4y40 化为标准方程是(x1)2(y2)29，其圆心是(1,2)线段 AB 的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得 A 正确答案：A3已知半径为 1 的动圆与圆(x5)2(y7)216 相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)217 或(x5)2(y7)215C(x5)2(y7)29D(x5)2(y7)225 或(x5)2(y7)29解析
15、：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则 x52y7241，(x5)2(y7)225；若动圆与已知圆内切，则 x52y7241，(x5)2(y7)29.答案：D4求半径为 4，与圆(x2)2(y1)29 相切，且和直线 y0 相切的圆的方程解析：设所求圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2.圆 C 与直线 y0 相切且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C1(a,4)或 C2(a，4)，已知圆(x2)2(y1)29 的圆心 A 的坐标为(2,1)，半径为 3.由两圆相切，则|CA|437，或|CA|431.当圆心为 C1(a,4)时，(a2)2(41)272 或(a2)2(41)212(无解)，故可得 a22 10，所求圆的方程为(x22 10)2(y4)216，或(x22 10)2(y4)216.当圆心为 C2(a，4)时，(a2)2(41)272 或(a2)2(41)212(无解)，a22 6.所求圆的方程为(x22 6)2(y4)216，或(x22 6)2(y4)216.课时作业
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