1、23 直线与圆、圆与圆的位置关系23.1 直线与圆的位置关系考 纲 定 位重 难 突 破1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离2.会用几何法和方程组法判断直线与圆的位置关系3.会求简单的弦长问题、圆的切线方程等问题.重点：利用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系，以及求相应直线方程时斜率不存在的情形难点：圆与方程、不等式等结合命题疑点：已知直线与圆的位置关系，求相应直线方程时注意斜率不存在的情形.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理直线 AxByC0(A2B20)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离公共
2、点个数几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2drdrdr判定方法代数法：由AxByC0 xa2yb2r2 消元得到一元二次方程的判别式为 000图形表示2102 2.所以直线与圆的位置关系为相离答案：D2若直线(1a)xy10 与圆 x2y22x0 相切，则 a 的值为()A1，1 B2，2C1 D1解析：由于圆 x2y22x0 的圆心坐标为(1,0)，半径为 1，则由已知有|1a1|11a21，解得 a1.答案：D3若直线 3x4ym0 与圆 x2y22x4y40 没有公共点，则实数 m 的取值范围是()A(10,0)B(0,10)C(，10)(0，)D(，0)(10，)解析：
3、将圆的方程化为标准方程，得(x1)2(y2)21，则圆心坐标为(1，2)，半径为 1.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即|m5|32421，解得 m0 或 m10，则实数 m 的取值范围是(，0)(10，)，故选 D.答案：D4已知圆心在 y 轴上，半径为 5的圆与直线 2xy0 相切，则圆的方程是_解析：设圆心为(0，b)，则 r|20b|1222 5，解得 b5，所以圆的方程为 x2(y5)25 或 x2(y5)25.答案：x2(y5)25 或 x2(y5)255已知圆 x2y24x6y120 的内部有一点 A(4，2)，则以 A 为中点的弦所在的直线方程为_解析：
4、由垂径定理知点 A 与圆心的连线与弦垂直，由于圆的圆心坐标为 B(2，3)，所以直线 AB 的斜率为12.因此所求直线方程为 y2(2)(x4)，即 2xy60.答案：2xy60探究一 直线与圆的位置关系的判断典例 1 已知圆的方程是 x2y22，直线 yx b，当 b 为何值时，圆与直线相交、相切、相离？解析 解法一 判断直线与圆位置关系的问题可转化为求当 b 为何值时，方程组x2y22 yx b有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题代入，整理得 2x22 bxb20.方程的根的判别式(2 b)242(b2)164b，当 0b0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点
5、，直线与圆相交；当 b4 时，0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当 b4 时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离解法二 圆心(0,0)到直线 yx b的距离为 d b2，圆的半径 r 2.当 dr，即 b2 2，0br，即 b2 2，b4 时，直线与圆相离，所以当 0b4 时，直线与圆相离直线与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断1已知两平行直线 4x2y70,2xy10 间的距离等于坐标原点 O 到直线 l：x2ym
6、0(m0)的距离的一半(1)求 m 的值；(2)判断直线 l 与圆 C：x2(y2)215的位置关系解析：(1)2xy10 可化为 4x2y20，则两平行直线 4x2y70,2xy10 之间的距离为|72|4222 52，则点 O 到直线 l：x2ym0(m0)的距离为|m|5 5，m5.(2)圆 C：x2(y2)215的圆心 C(0,2)，半径 r 55，点 C 到直线 l 的距离为|45|5 55，直线 l 与圆 C 相切探究二 直线与圆相切问题典例 2 圆 C 与直线 2xy50 切于点(2,1)，且与直线 2xy150 也相切，求圆 C 的方程解析 过 A(2,1)与两直线垂直的直线方
7、程为 y112(x2)，即 y12x.由y12x，2xy150，解得x6，y3.则 A(2,1)，B(6，3)是圆 C 的直径的两个端点，于是圆心为(2，1)，半径 r12|AB|2 5.圆 C 的方程为(x2)2(y1)220.1求过圆上的一个已知点的圆的切线方程常用直接法，步骤如下：(1)求切点与圆心连线的斜率 k(k 存在，且 k0)；(2)由垂直关系得切线斜率为1k；(3)代入点斜式方程得切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程常用待定系数法，步骤如下：(1)设切线方程为 yy0k(xx0)(k 存在)；(2)求出圆心到该直线的距离 d(或将切线方程与圆的方程联立消元)；(3
8、)根据 dr 求得 k 的值(或根据 0 求得 k 的值)；(4)将 k 的值代入即得切线方程2过点 A(4，3)作圆 C：(x3)2(y1)21 的切线，求此切线的方程解析：点 A 到圆心 C 的距离为432312 171，点 A 在圆外若所求直线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为 y3k(x4)，整理得 kxy4k30.圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，|3k134k|k211，即|k4|k21.解得 k158.所以切线方程为 y3158(x4)，即 15x8y360.若切线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线 x4 的距离为 1，这时直线 x4 与圆相切，所以另一条切
9、线方程是 x4.综上所述，所求切线方程为 15x8y360 或 x4.探究三 弦长问题典例 3 如图所示，求经过点 P(6，4)且被定圆 x2y220 截得弦长为 6 2的直线的方程解析 如图所示，作 OCAB 于 C，连接 OA，则 AB6 2，OA2 5.在 RtOAC 中|OC|203 22 2.显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y4k(x6)，即 kxy6k40.圆心到直线的距离为 2，|6k4|1k2 2，即 17k224k70.k1 或 k 717.所求直线的方程为 xy20 或 7x17y260.求弦长的常用方法(1)代数法：将直线与圆的方程联立，解得两
10、交点，然后利用两点间距离公式求弦长设直线的斜率为 k，直线与圆联立，消去 y 后所得方程两根为 x1，x2，则弦长 d 1k2|x2x1|.(2)几何法：设弦长为 l，弦心距为 d，半径为 r，则有l22d2r2，故 l2 r2d2，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，数形结合利用勾股定理得到3(1)直线 x2y50 与圆 x2y28 相交于 A，B 两点，则|AB|_；(2)设直线 axy30 与圆(x1)2(y2)24 相交于 A，B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则 a_.解析：(1)圆心(0,0)到直线 x2y50 的距离 d 55 5，因此|AB|2 r2d22 852 3.(
11、2)圆心到直线的距离 d|a23|a21|a1|a21，由 3 4d2，得 a0.答案：(1)2 3(2)0直线与圆的综合问题典例(本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3.(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 22，求圆 P 的方程规范解答(1)设 P(x，y)，半径为 r，由题意知y22r2，x23r2，即 y22x23，故 P 点轨迹方程为 y2x21.4 分(2)设 P(x0，y0)，由已知得|x0y0|2 22.又 P 点在曲线 y2x21 上，从而得|x0y0|1，
12、y20 x201，6 分x0y01，y20 x201，得x00，y01.此时圆的半径 r 3；8 分x0y01，y20 x201，得x00.y01.此时，圆的半径 r 3.10 分故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23.12 分规范与警示 正确列出点 P 满足的关系式是求轨迹方程的关键点，也是失分点对绝对值的关系式要进行讨论，解题要全面在解答此类问题时，首先要认真分析题设条件，找出条件与结论之间的关系，选取合理的解题思路对题目中出现的参数，含绝对值的问题时，一定要注意进行分类讨论随堂训练 1以点(2，1)为圆心，且与直线 3x4y50 相切的圆的方程为()A(x2)2(y1
13、)23 B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29 D(x2)2(y1)29解析：圆心到直线 3x4y50 的距离 d|645|53，即圆的半径为 3，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)29.答案：D2直线 3xy20 截圆 x2y24 得到的弦长为()A1 B2 3C2 2D2解析：圆心到直线的距离 d|2|311，又 r2，所以弦长为 2 22122 3.答案：B3若直线 2xay30 与圆 x2y22x40 相切，则实数 a 等于_解析：圆的方程可化为(x1)2y25，因此圆心坐标为(1,0)，半径 r 5，依题意得|23|4a2 5，解得 a1.答案：14过点 P(2,4)作圆
14、 C：(x2)2(y1)225 的切线 l，直线 l1：ax3y2a0 与 l平行，则 l1 与 l 间的距离为_解析：由题意，知直线 l1 的斜率 ka3.则设直线 l 的方程为 y4a3(x2)，即 ax3y2a120.由 l 与圆 C 相切，得|2a32a12|a295，解得 a4，所以 l 的方程为 4x3y200，l1 的方程为 4x3y80，则两直线间的距离为|208|4232125.答案：1255已知圆 C 与 y 轴相切，圆心 C 在直线 l1：x3y0 上，且圆 C 在直线 l2：xy0上截得的弦长为 2 7，求圆 C 的方程解析：因为圆心 C 在直线 l1：x3y0 上，所以可设圆心坐标为(3t，t)又圆 C 与 y 轴相切，所以圆的半径为 r|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得|3tt|22(7)2|3t|2，解得 t1.所以圆心坐标为(3,1)或(3，1)，半径为 3.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29.课时作业
