1、解答题专项突破(六)概率与统计的综合问题 第十章 概率通过对近几年高考试题分析，在高考解答题中，概率与回归分析、独立性检验相结合的综合问题既是考查的热点又是重点，设计成包含概率、统计图表的识别与应用等知识的综合题，以实际应用问题为载体，考查考生应用数学知识和基本方法分析问题和解决问题的能力试题难度一般不大，为中、低档题型热点题型 1 古典概型与样本数字特征的综合问题典例(2019辽宁大连三模)某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取 50 名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1 分(很不满意)；2 分(不满意)；3 分(一般)；4分(满意)；5
2、分(很满意)其统计结果如下表(住宿满意度为 x，餐饮满意度为 y，单位：分)：餐饮满意度 y人数住宿满意度 x12345111210221321312534403543500123(1)求“住宿满意度”分数的平均数；(2)求“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的方差；(3)为提高会员对酒店的满意度，现从 2x3 且 1y2 的会员中随机抽取 2 人征求意见，求至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 分的概率解题思路(1)读懂题意，明确“住宿满意度”1 分的有 5 人，2 分的有9 人，3 分的有 15 人，4 分的有 15 人，5 分的有 6 人，易求平均数(2)明确 5 个“
3、餐饮满意度”人数分别为 1,2,5,3,4.用方差公式求值(3)利用列举法以及古典概型的概率公式求解解题思路规范解答规范解答(1)“住宿满意度”分数的平均数为519215315465503.16.(2)当“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的平均数为1253453，其方差为13223253233243252.规范解答(3)符合条件的所有会员共 6 人，其中“住宿满意度”为 2 分的 3 人分别记为 a，b，c.“住宿满意度”为 3 分的 3 人分别记为 d，e，f.从这 6 人中抽取 2 人有如下情况(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b
4、，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共 15 种等可能的情况，所以至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 分的概率 P121545.热点题型 2 古典概型与统计图表的综合问题典例(2019佛山一中模拟)十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了 100 个蜜柚进行测重，其质量分别在1500,1750)，1750,2000)，2000,2250)，2250,2500)，2500,2750)，2750,3
5、000(单位：克)中，其频率分布直方图如图所示(1)按分层抽样的方法从质量落在1750,2000)，2000,2250)的蜜柚中抽取5 个，再从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率；(2)以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：A所有蜜柚均以 40 元/千克收购；B低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 克的以 80 元/个收购请你通过计算为该村选择收益最好的方案解题思路(1)根据频率确定抽取的 5 个蜜柚中落在1500,17
6、50)和2000,2250)中的个数，利用古典概型的概率公式计算(2)先计算出各组的频率，再利用组中值计算出 5000 个蜜柚在各组中分布的个数，最后按各自方案计算出收益，选择收益大的方案解题思路规范解答规范解答(1)由题意，得蜜柚质量在1750,2000)和2000,2250)的比例为23，应分别在质量为1750,2000)，2000,2250)的蜜柚中各抽取 2 个和 3个记抽取质量在1750,2000)的蜜柚为 A1，A2，质量在2000,2250)的蜜柚为B1，B2，B3，则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A
7、2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3，这 10种情况发生的可能性是相等的其中质量均小于 2000 克的仅有 A1A2 这 1 种情况，故所求概率为 110.规范解答(2)方案 A 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在1500,1750)的频率为 2500.00040.1，同理，蜜柚质量在1750,2000)，2000,2250)，2250,2500)，2500,2750)，2750,3000的频率依次为 0,1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按 A 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为 500,500,750,2000,1000,250，于是总收益为规范解答 401
8、0002502 250(67)2(78)2(89)3(910)8(1011)4(1112)140100025502630511528423457500(元)若按 B 方案收购：规范解答蜜柚质量低于 2250 克的个数为(0.10.10.15)50001750，蜜柚质量高于或等于 2250 克的个数为 500017503250，收 益 为175060 325080 2502073 134 365000(元)方案 A 的收益比方案 B 的收益高，应该选择方案 A.热点题型 3 古典概型与回归分析的综合问题典例(2019昆明模拟)改革开放以来，我国农村 7 亿多贫困人口摆脱贫困，贫困发生率由 197
9、8 年的 97.5%下降到 2018 年底的 1.4%，创造了人类减贫史上的中国奇迹，为全球减贫事业贡献了中国智慧和中国方案“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例.2012 年至 2018 年我国贫困发生率的数据如表所示，年份(t)2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018贫困发生率 y(%)10.28.57.25.74.53.11.4(1)从表中所给的 7 个贫困发生率数据中任选 2 个，求这 2 个都低于 5%的概率；(2)设年份代码 xt2015，利用回归方程，分析 2012 年至 2018 年贫困发生率的变化情况，并预测 2019 年的贫困发生率附
10、：回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式为bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a ybx.解题思路(1)用列举法得出基本事件总数，再用古典概型的概率公式求解(2)由题意列出年份代码 x 与贫困发生率 y 的对应表格，计算 x，y，i17xiyi，i17x2i，根据公式求b与a写出回归方程解题思路规范解答规范解答(1)设 2012 年至 2015 年贫困发生率分别为 A1，A2，A3，A4，均大于 5%，设 2016 年至 2018 年贫困发生率分别为 B1，B2，B3，均小于 5%.从 2012 年至 2018 年贫困发生率的 7 个数据中任选 2 个，可能的情况如下，A1
11、，A2，A1，A3，A1，A4，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，A4，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，A4，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共有 21 种等可能的情况，这 2 个都低于 5%的情况有B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 3 种，所以，这 2 个都低于 5%的概率为 32117.规范解答(2)由题意可得，年份(t)2012201320142015201620172018年份代码(x)3210123贫困发生率 y(%)10.28.57.25.74.53.11.4由上表可算得
12、 x0，y10.28.57.25.74.53.11.475.8，i17xiyi3(10.21.4)2(8.53.1)(7.24.5)39.9，规范解答i17x2i(3)2(2)2(1)20212223228.所以，bi17xiyi7 x yi17x2i7 x239.9705.8287021.425，a ybx5.8(1.425)05.8，所以，线性回归方程为y1.425x5.8，规范解答由以上方程得b6.635，有 99%的把握认为使用网络搜题与性别有关规范解答(2)依题意，可知所抽取的 5 名女生中，经常使用网络搜题的有 40 5504 人，将这 4 人记作 A，B，C，D；偶尔或不用网络搜题的有 10 5501 人，将这 1 人记作 a.从这 5 人中随机选出 3 人的所有基本事件为(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，a)，(A，C，D)，(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，D)，(B，C，a)，(B，D，a)，(C，D，a)，共 10 个等可能的基本事件选出的 3 人中恰有 2 人经常使用网络搜题的所有基本事件为(A，B，a)，(A，C，a)，(A，D，a)，(B，C，a)，(B，D，a)，(C，D，a)，共 6 个故选出的 3 人中恰有 2 人经常使用网络搜题的概率为 P 61035.本课结束