1、3.2.3 直线与平面的夹角空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos|cos|ab|a|b|(其中为异面直线a，b所成的角)z.x.x.k1已知直线 l1和 l2的方向向量分别为 a(1，2，2)和 b(2，3，m)若 l1l2，则实数 m的值为()A1 B2 C.12 D3【解析】l1l2，ab1(2)23(2)m0，m2，故选 B.B三垂线定理和逆定理2.如图，直线l是平面 的一条斜线，它在平面 内的射影为b，直线a在平面 内，如果ab，那么直线a与直线l垂直吗？为什么？反之成立吗？albabal3.如图OB是OA在平面 内的射影，M是平
2、面内的另一条射线上的一点，BM垂直OM（1）求证：AM垂直OM（2）AOB=1 BOM=2 AOM=求证：cos=cos1cos2 Cos1=OAOBCos2=OBOMcos=OAOM生活实例思考1:直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.生活实例思考2:当直线与平面相交时，对于直线与平面垂直的情形，我们已作了一些相关研究，对于直线与平面不垂直的情形，我们需要从理论上作些分析.思考3:如图，AB为平面 的一条斜线，A为斜足，AC为平面 内
3、的任意一条直线，能否用BAC反映斜线AB与平面的相对倾斜度？(即直线和平面夹角）CAB思考4:反映斜线与平面相对倾斜度的平面角的顶点为斜足，角的一边在斜线上，另一边在平面内的哪个位置最合适？为什么？PAB思考5:斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角？PAB 2 1mMBOAcos=cos1cos2在上述公式中，因为0cos21，所以coscos1.因为和1都是锐角，所以1.定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.PAB思考6:特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90；当一条直线和平面平行或在平面
4、内时，规定它们所成的角为0.这样，任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映，那么直线与平面所成的角的取值范围是什么？0,90 直线和平面所成角的求法（1）定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内射影的夹角此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影即把所要求的角放入直角三角形中。PAB(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos|en|e|n|.例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.解：连A1C1与B1D
5、1交与O点，再连BO，ABBC，C1O面DD1BB1，则OBC1为BC1与平面BB1D1D所成角DCBAA1D1B1C1OsinOBC1=510例 2 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 4，点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且CE12CC1，DFBG14DD1，BH12BC.求 AH 与平面AFEG 的夹角 分析 解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦的绝对值即可 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，AF(
6、4,4,1)(0,4,0)(4,0,1)AG(0,0,1)(0,4,0)(0，4,1)，AH(2,0,0)(0,4,0)(2，4,0)设 n(x，y，z)是平面 AFEG 的一个法向量，则4xz04yz0，令x1，则z4，y1.即n(1，1，4)，即AH与平面AFEG的夹角为，则 sin|cosAH，n|618 20 1010.AH 与平面 AEFG 的夹角为 arcsin 1010.说明 解答本题易出现由 sin1010 得 arcsin 1010 或 arcsin 1010 的错误，导致此种错误的原因是忽视了斜线与平面夹角的范围1在正方体ABCDA1B1C1D1中,F是BC的中点，点E1在
7、D1C1上,且D1E1=D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小41解：设正方体棱长为 1，以1,DDDCDA为单位正交基底，建立如图所示坐标系 Dxyz1DB 为 D1AC 平面的法向量，1(1,1,1)DB)1,43,21(1FE8787,cos11FEDB87sin87 所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为1.定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.PAB0,90 2.求法：（1）定义（2）向量自己把自己说服了，是一种理智的胜利；自己把自己感动了，是一种心灵的升华；自己把自己征服了，是一种人生的成功。作业：教材108页练习A第2,3题