1、(2012抚州调研)下列有关抛物线的说法正确的是()有一个顶点；有一个焦点；有一个对称中心；有一条对称轴；有一条准线ABC D答案：C.过抛物线y24x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|6，则线段AB的中点横坐标为()A1 B2C3 D4解析：选B.抛物线y24x中p2，弦AB为焦点弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2px1x226，即x1x24，则2，即线段AB的中点横坐标为2.已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|2，则|BF|_解析：设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|x112，则x11，
2、故直线AF的方程是x1.此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|AF|2.答案：2(2012宝鸡质检)垂直于x轴的直线与抛物线y24x相交于点A，B，且|AB|4，则直线AB的方程为_解析：设点A在x轴上方，且直线AB与x轴交于点M，则由抛物线的对称性可得|AM|2，此即为点A的纵坐标，代入抛物线方程可得x3，从而直线AB的方程为x3.答案：x3A级基础达标(2012阜阳质检)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(4，5)的抛物线方程为()Ay2xBy2xCx2y Dx2y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x22py(p0)，将(4，5)代入得p，所以，抛物线方程为x2y.设斜率为2
3、的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24x By28xCy24x Dy28x解析：选B.抛物线y2ax(a0)的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y2(x)，它与y轴的交点为A(0，)，所以OAF的面积为|4，解得a8.所以抛物线方程为y28x.已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值为()A2 B3C4 D0解析：选B.zx24x3(x1)22，x0，x0时，z有最小值，zmin3.顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是_解析：设抛物线的方程为y22ax，由于通径长为6，即2|
4、a|6，a3.适合题意的抛物线方程为y26x.答案：y26x(2012南阳质检)过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则抛物线的焦点坐标为_解析：F(，0)，设AB：yx，与y22px联立，得x23px0，xAxB3p.由焦半径公式xAxBp4p8，得p2.故焦点坐标为(1，0)答案：(1，0)已知抛物线y22x.设点A，求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.解：设P(x0，y0)为抛物线y22x上任意一点，则|PA|2yxx0.x00，)，当x00时，|PA|，即|PA|min.距点A最近点P的坐标为(0，0)，此时|
5、PA|.B级能力提升(2010高考山东卷)已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2 Dx2解析：选B.抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，整理得y22pyp20，由已知得该方程有两个不相等的实数根，则y1y22p，所以p2，所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x1.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最小值是()A. B.C. D3解析：选A.设抛物线yx2上一点为(m，m2)，则该点到直线4x3y80的距离为，当且仅当
6、m时等号成立，此时，该点到直线4x3y80的距离的最小值为.(2012上饶质检)过抛物线x22py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为12，则p_解析：依题意知抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yx，代入抛物线方程得y23py0，故y1y23p，|AB|AF|BF|y1y2p4p，又直线AB的斜率为1，故直角梯形有一个内角为45，故|CD|AB|4p2p，则梯形ABCD的面积为(|BC|AD|)|CD|3p2p3p212，解得p2.答案：2若抛物线y22px(p0)
7、上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标和p的值解：设M(x0，y0)，则因为y2px0，所以362p(10)所以p2或p18.所以或所以m的横坐标为9或1，相应的P值为2或18.(创新题)已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当OAB的面积等于时，求k的值解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理，得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y21.A，B在抛物线y2x上，yx1，yx2.yyx1x2.kOAkOB1，OAOB.(2)设直线AB与x轴交于点N，显然k0.令y0，则x1，即N(1，0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|，SOAB1 .SOAB， ，解得k.
