1、第一部分一13(理) 一、选择题1(2014北京理，7)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D解析DABC在xOy平面上的投影为ABC，故S1ABBC2，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则DABC在yOz和zOx平面上的投影分别为OCD2和OAD3，D2(0,1，)，D3(1,0，)故S22，S32，综上，选项D正确2已知正四棱柱ABCD
2、A1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C. D.答案B解析以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，AA12AB，E(0,0,1)，(1,0,1)，(1,0,2)，cos，故选B.3(2015浙江理，8)如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADBBADBCACBDACB答案B解析AC和BC都不与CD垂直，ACB，故C，D错误当CACB时，容易证明
3、ADB.不妨取一个特殊的三角形，如RtABC，令斜边AB4，AC2，BC2，如图所示，则CDADBD2，BDH120，设沿直线CD将ACD折成ACD，使平面ACD平面BCD，则90.取CD中点H，连接AH，BH，则AHCD，AH平面BCD，且AH，DH1.在BDH中，由余弦定理可得BH.在RtAHB中，由勾股定理可得AB.在ADB中，AD2BD2AB220，可知cosADB0)，所以AB.()假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等设G(0，m,0)(其中0m4t)，则(1,3tm,0)，(0,4tm,0)，(0，m，t)由|得12(3tm)2(4tm)2，即t3m
4、；由|得(4tm)2m2t2.由、消去t，化简得m23m40.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等方法点拨1.用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的法向量n；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求点到平面的距离d.2点面距、线面距、异面直线间的距离的求法共同点是：设平面的法向量为n(求异面直线间的距离时，取与两异面直线都垂直的向量为n)，求距离的两几何图形上各取一点A、B，则距离d.13(2015湖南理，19)如图，已知四棱
5、台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD.点P，Q分别在棱DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积分析考查空间向量的运用，线面垂直的性质与空间几何体体积计算考查转化思想、方程思想、运算求解能力和空间想像能力(1)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标将问题转化为证明AB1PQ0；(2)利用向量几何求解：将PQ平面ABB1A1转化为与平面ABB1A1的法向量垂直，结合平面的法向量与二面角的关系确定点P，最后利用体积公式计算体积或用综合几何方法求解解
6、析解法一由题设知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0，6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ,0m6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P(0，3)，(6，m，3)，(3,0,6)，于是18180，所以，即AB1PQ；(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平面PQD的一个法向量，则 ，即取y6，得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，所
7、以cosn1，n2，而二面角PQDA的余弦值为，因此，解得m4，或者m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设 (01)，而(0，3,6)，由此得点P(0,63，6)，(6,32，6)因为PQ平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3(0,1,0)，所以n30，即320，亦即，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥PADQ，而其高h4，故四面体ADPQ的体积VSADQh66424.解法二(1)如图c，取A1A的中点R，连接PR，BR，因为A1A，D1D是梯形A1AD1D的两腰，P是D1D的中点，所以PRAD，于是由ADBC知，PRBC，所以P，R，B，C四
8、点共面由题设知，BCAB，BCA1A，所以BC平面ABB1A1，因此BCAB1，因为tanABR tanA1AB1，所以tanABRtanA1AB1，因此ABRBAB1A1AB1BAB190，于是AB1BR，再由即知平面AB1平面PRBC，又PQ平面PRBC，故AB1PQ.图c图d(2)如图d，过点P作PM/A1A交AD于点M，则PM/平面ABB1A1.因为A1A平面ABCD，所以PM平面ABCD，过点M作MNQD于点N，连接PN，则PNQD，PNM为二面角PQDA的平面角，所以cosPNM，即，从而.连接MQ，由PQ/平面ABB1A1，所以MQ/AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQAB6.设MDt，则MN 过点D1作D1EA1A交AD于点E，则AA1D1E为矩形，所以D1EA1A6，AEA1D13，因此EDADAE3，于是2，所以PM2MD2t，再由得，解得t2，因此PM4.故四面体ADPQ的体积VSADQh66424.