1、江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测 数学试卷一、 填空题：(本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填入答题区)第5题图若集合= 命题“xR，有x2+1x”的否定是 若i是虚数单位，则= “1”是“成立”的 条件（填充分不必要、必要不充分，既不充分也不必要，充要）已知流程图如图所示，为使输出的值为16，则判断框内处应填 已知直线与曲线在处的切线互相垂直，则 已知cos，cos()，且0，则= 若4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 若A、B与 F1、F2分别为椭圆C：的两长轴端点与两焦点，椭圆C上
2、的点P使得F1PF2=，则tanAPB= 已知数列an(nN*)满足a1=1且，则其前2013项的和为 定义在R上的函数是增函数，且函数的图像关于(2,0)成中心对称，若s,t满足不等式，若时，则的最大值为 已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标的取值范围为 已知非零向量与满足，则的最小值为 已知，点的坐标满足，则的取值范围为 二、 解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。来)（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列（1）若，b，求ac的值； （2）求2sinAs
3、inC的取值范围在三棱柱中，已知底面是边长为的正三角形，侧棱，点分别为边的中点，底面（）求证：线段DE平面；（）求证：FO平面某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量万件与年促销费用万元之间满足与成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等(利润=收入生产成本促销费用)（1）求出与所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润
4、万元表示成促销费万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？如图，椭圆C： 过点，梯形ABCD（ABCD轴，且）内接于椭圆，E是对角线AC与BD的交点（）求椭圆C的方程；（）设试求的最大值（本小题满分16分）已知函数，且，（1）求、的值；（2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求 的最小值，并求此时点的坐标；（3）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围（本小题满分16分）设数列，对任意都有，(其中、是常数)。（1）当，时，求；（2）当，时，若，求数列的通项公式；（3）若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当，时，设是数
5、列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列” ，使得对任意，都有，且若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测 高三数学试卷II (加试部分)21. 学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20改选B，而选B菜的，下周星期一则有30改选A，若用An、Bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.(1)若，请你写出二阶矩阵M；（2）求二阶矩阵M的逆矩阵.22（本题满分10分）若极坐标系的极轴与直角坐标系的x轴非负半轴重合，单位长度相等，已知曲线C的参数方程为
6、，曲线D的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由23（本题满分10分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足（1）证明：PNAM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45，试确定点P的位置24（本题满分10分）设数列满足，（1）当时，求证：M；（2）当时，求证：；（3）当时，判断元素与集合的关系，并证明你的结论一填空题： xR，使x2+1x； 1006+1007i 必要不充分条件 3 - 16 0 1 二解答题：解：1）因为A，B，C成等
7、差数列，所以B，accos(B)，ac，即ac3b，b2a2c22accosB，a2c2ac3，即(ac)23ac3(ac)212，所以ac2 7分（2）2sinAsinC2sin(C)sinC2(cosCsinC)sinCcosC0C，cosC(，)2sinAsinC的取值范围是(，) 14分（）因为平面为平行四边行, 所以共线， 2分, 4分又 6分（）因为是边长这的正三角形，所以 又底面，所以， 8分又，所以 又F为的中点，所以 10分又平面， 12分所以平面 14分解：（1）设比例系数为由题知，有又时，所以 ，所以与的关系是4分（2）依据题意，可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元，促
8、销费用为万元，则每件纪念品的定价为：元件于是，进一步化简，得因此，工厂2010年的年利润万元8分（3）由（2）知， ，当且仅当，即时，取等号，所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元14分（）由题意得 3 分 解得 6分（）根据对称性可知点E在轴上，则E点的坐标为， 7分设BD的方程为，由得9分设，则， ， 11分从而， 13分等号当且仅当取得 14分解：（1）由，得， 解得： 3分（2）由（1），所以， 令，则6分因为，所以，所以，当，所以，即的最小值是，此时，点的坐标是。9分（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，10分要使问题有意义，或法一：在或下，
9、问题化为对恒成立， 即对恒成立，即对恒成立，当时，或，当时，且对恒成立，对于对恒成立，等价于，令，则，递增，结合或，对于对恒成立，等价于令，则，递减，综上： 16分法二： 故问题转化为对恒成立，令若时，由于，故，在时单调递增，依题意，舍去；若，由于，故，考虑到，再分两种情形：（），即，的最大值是，依题意，即，；（），即，在时单调递增，故，舍去。综上可得， 16分解：（1）当，时， 用去代得， -得，2分在中令得，则0，数列是以首项为1，公比为3的等比数列，=。4分（2）当，时， 用去代得， -得， ， 6分用去代得， -得，即，8分数列是等差数列。，公差，。10分（3）由（2）知数列是等差数列
10、，。又是“封闭数列”，得：对任意，必存在使，得，故是偶数，12分又由已知，故。一方面，当时，对任意，都有。另一方面，当时，则，取，则，不合题意。14分当时，则，当时，又，或或或。16分附加题：21. 解：（1）；4分（2）设矩阵M的逆矩阵为，则由=得：，解之得：，.10分22. 解：（1）由得 分（2）由得曲线的普通方程为分 得 分 解得,故曲线与曲线无公共点 分23. 解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz则P(，0,1)，N(，0)，M(0,1，)，2分从而(，1)，(0,1，)，()0110，所以PNAM3分（2）平面ABC的一个法向量为n(0, 0, 1)设平面PMN的一个法向量为m(x，y，z)，由（1）得(，1，)由5分解得7分平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，|cos|，解得9分故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|10分24. 证明：（1）如果，则， 2分（2） 当 时，（） 事实上，1当时， 设时成立（为某整数），则2对，由归纳假设，对任意nN*，|an|2，所以aM6分 （3） 当时，证明如下：对于任意，且对于任意， 则 所以，当时，即，因此10分