1、章末优化总结网络 体系构建专题 归纳整合章末检测(二)专题一 直线的方程及其应用1直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线直线方程的一般式则可以表示所有直线在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式2确定直线的方程有两种方法：(1)待定系数法，在设点的时候，要注意对斜率不存在的直线的讨论；(2)用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程 已知直线经过点(2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积是 1，求直线方程 解析 设所求直线的方程是xayb1.由题意，得2a 2b1，12|ab|1.解得a2，b1或a1，b2.所求直线方程为x2y11
2、或 x1 y21，即 x2y20 或 2xy20.1若一条直线经过两条直线 x3y100 和 3xy0 的交点，且原点到它的距离为1，求该直线的方程解析：设过两条直线交点的直线方程为 x3y10(3xy)0，即(13)x(3)y100.因为原点到所求直线的距离为 1，所以|1303010|132321，解得 29，即 3.故所求直线的方程为 x1 或 4x3y50.专题二 两直线的平行与垂直问题1两条直线垂直的条件文字表述两条直线都有斜率且不为零，如果它们垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们相互垂直符号表示l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1l2k1 1k2
3、或l1l2k1k21l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20l1l2A1B1A2B21 或l1l2A1A2B1B202.两条直线平行的条件文字表述两条直线有斜率且不重合；如果它们平行，则斜率相等；反之，如果它们斜率相等，则它们平行符号表示l2：yk2xb2l1l2k1k2，且 b1b2l2：A2xB2yC20l1：yk1xb1l1：A1xB1yC10l1l2A1A2B1B2C1C2(1)当 a 为何值时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行？(2)当 a 为何值时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直？解析(1)直线 l1的斜率 k11，直线
4、 l2 的斜率 k2a22，l1l2，a221 且 2a2.解得 a1.所以当 a1 时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行(2)直线 l1 的斜率 k12a1，l2 的斜率 k24，l1l2，k1k21，即 4(2a1)1.解得 a38.当 a38时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直2已知直线 l 过点 P(2,3)，且被两条平行直线 l1：3x4y70，l2：3x4y80截得的线段长为 d.(1)求 d 的最小值；(2)当直线 l 与 x 轴平行时，求 d 的值解析：(1)验证易知点 P 不在两条平行直线上，过点 P 作直线 l，使 ll1
5、，则 ll2，垂足分别为 G，H，则|GH|就是所求的 d 的最小值由两平行线间的距离公式，得|GH|87|3242 3，所以 d 的最小值为 3.(2)当直线 l 与 x 轴平行时，l 的方程为 y3，设直线 l 与直线 l1，l2 分别交于点 A(x1,3)，B(x2，3)，则 3x11270,3x21280，所以 3(x1x2)15，即 x1x25，所以 d|AB|x1x2|5.专题三 圆的方程求圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：选择圆的方程的某一形式；由题意得 a，b，r(或 D，E，F)的方程(组)；解出 a，b，r(或 D，E，F)；代入圆方程 已知圆
6、A：x2y22x2y20，若圆 B 平分圆 A 的周长，且圆 B 的圆心在直线 l：y2x 上，求满足上述条件半径最小的圆 B 的方程解析 设圆 B 的半径为 r，圆 B 的圆心在直线 l：y2x 上，圆 B 的圆心可设为(t,2t)，则圆 B 的方程是(xt)2(y2t)2r2，即 x2y22tx4ty5t2r20.圆 A 的方程是 x2y22x2y20，得两圆的公共弦方程是(22t)x(24t)y5t2r220.圆 B 平分圆 A 的周长，且半径最小圆 A 的圆心(1，1)必须在公共弦上，于是将 x1，y1 代入方程，并整理得：r25t26t65t352215 215，当 t35时，rmi
7、n215.此时，圆 B 的方程是x352y652215.3过 A(4,2)，B(1,3)两点且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程为_解析：设圆的方程为 x2y2DxEyF0.令 y0，得 x2DxF0，所以圆在 x 轴上的两个截距之和 x1x2D，令 x0，得 y2EyF0，所以圆在 y 轴上的两个截距之和 y1y2E，由已知得DE2.又 A，B 两点在圆上，所以42224D2EF0，1232D3EF0，综上可解得 D2，E0，F12.故圆的方程为 x2y22x120.答案：x2y22x120专题四 直线与圆、圆与圆的位置关系圆是一种特殊图形，既是中心对称图形又是轴对称图形，圆心是对
8、称中心，任意一条直径所在直线是对称轴圆具有许多重要的几何性质，如圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与不过圆心的弦的中点连线垂直于弦；切线长定理；直径所对的圆周角是直角；两圆内切或外切时，连心线过切点；两圆相交时连心线垂直平分公共弦等等充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量另外，对于未给出图形的题目，要边读题边画图，这样能更好地体会圆的几何形状，有助于找到解题思路 已知圆 C：x2y22x4y30.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程(2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM
9、|最小的 P 点坐标解析(1)切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，切线的斜率是1.设切线方程为 yxb 或 yxc，分别代入圆 C 的方程得：2x22(b3)x(b24b3)0 或 2x22(c1)x(c24c3)0.由于相切，方程有等根，由此可得，b3 或 b1，c5 或 c1，所求切线方程为xy30，xy10，xy50，xy10.当切线过原点时设为 ykx，即 kxy0，则|k2|1k2 2k2 6，y(2 6)x 或 y(2 6)x.综上，所求切线方程为 xy30 或 xy10 或 xy50，或 xy10 或 y(2 6)x 或 y(2 6)x.(2)将圆 C 的方程变形为标准式得，(x1
10、)2(y2)22，圆心 C(1,2)，半径 r 2.切线 PM 与半径 CM 垂直，|PM|PC|2|CM|2，又|PM|PO|，x21y21 x112y1222，化简整理，得 2x14y130.而|PO|的最小值为 O 点到直线 2x14y130 的距离，即 d3 510，从而解方程组x21y21 920，2x14y130，得x1 310，y135.满足条件的 P 点为 310，35.4已知圆 C：x2y24x6y120，求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程解析：(1)若切线过原点，则设切线方程为 ykx，圆的方程为 x2y24x6y120，即(x2)2(y3)21，由 dr，得|2k3|k
11、211，解得 k62 33，切线方程为 y62 33x.(2)若切线不过原点，则设切线方程为 xya，圆的方程为(x2)2(y3)21，由 dr，得|23a|21，解得 a5 2，切线方程为 xy5 2.综上，所求切线的方程为 y62 33x 或 y62 33x 或 xy5 20 或 xy5 20.专题五 数形结合思想的应用数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线
12、与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，求：(1)yx的最大值和最小值；(2)yx 的最小值；(3)x2y2 的最大值和最小值解析(1)解法一 方程 x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆设yxk，即 ykx，由圆心(2,0)到 ykx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由|2k0|k21 3，解得 k23.所以 kmax 3，kmin 3.解法二 如图所示，连接圆心 C 与切点 P，则 OPCP.又在 RtOPC 中，|OC|2，|CP|3，所以|OP|1，得yx|PC
13、|OP|3.所以 kmax 3，kmin 3.(2)设 yxb，则 yxb.由题意得，当直线 yxb 与圆切于第四象限时，直线在 y 轴上的截距 b 取得最小值由点到直线的距离公式，得|20b|2 3，即 b2 6.故(yx)min2 6.(3)由 x2y2 是圆上的点与原点的距离的平方，设圆与 x 轴的交点分别为 B，C(如上图)，则(x2y2)max|OC|2(2 3)274 3，(x2y2)min|OB|2(2 3)274 3.5若方程 xb3 4xx2有实数根，求实数 b 的取值范围解析：方程有实数根，即函数 yxb 与 y3 4xx2的图像有交点，由 y3 4xx2，得(x2)2(y3)24(1y3)所以曲线 y3 4xx2是半圆，如图中实线所示当直线 yxb 与圆相切时，|23b|22.所以 b12 2.由图可知 b12 2.所以 b 的取值范围是12 2，3章末检测(二)