1、5.6函数yAsin(x)第1课时函数yAsin(x)的图象及变换学 习 任 务核 心 素 养1理解匀速圆周运动的数学模型(重点)2理解参数A，对函数yAsin(x)的图象的影响(重点)3掌握ysin x与yAsin(x)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(难点、易错点)1通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养2借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养.在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如yAsin(x)的函数如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象(1)(2)将测得的图象放大如图(2)所示，可以
2、看出它和正弦曲线很相似那么函数yAsin(x)与函数ysin x有什么关系呢？知识点A，对函数yAsin(x)图象的影响(1)对ysin(x)，xR图象的影响(2)(0)对ysin(x)图象的影响(3)A(A0)对yAsin(x)图象的影响由ysin x(0)的图象得到ysin(x)的图象是如何平移的呢？提示ysin(x)sin ，由ysin x的图象向左(右)平移个单位1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)ysin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是ysin.()(2)ysin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是ysin 2x.()(3)ysin x
3、的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是ysin x()答案(1)(2)(3)2.把函数ysin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为()Aysin xBysin xCysinDysinD根据图象变换的方法，ysin x的图象向左平移个单位长度后得到ysin的图象 类型1匀速圆周运动的数学模型【例1】如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系解由题意，POxP0Oxtt，根据三角函数的定义，得P点纵坐标y|OP|sinPOx20sin，即所求y关于时
4、间t的函数关系为y20sin，函数的周期T为，由T，可得2，点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y20sin，t0，)匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定，初始位置不同对有影响还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系1为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()AysinBysinCysinDysinC秒针是顺时针旋转，角速度0.又由每60秒
5、转一周，(弧度/秒)，由P0，得cos ，sin .解得.故选C. 类型2平移变换【例2】(1)将函数ysin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是()Aysin2Bysin2Cysin2Dysin2(2)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位(1)D(2)B(1)向左平移个单位长度得ysin，再向上平移2个单位长度得ysin2，故选D.(2)由ysinsin4得，只需将ysin 4x的图象向右平移个单位即可，故选B.在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：(1)平移
6、之前应先将函数解析式化为同名的函数(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚(3)左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是x中的，而是 .2为了得到ysin的图象，只需将函数ycos x的图象向右平移_个单位长度ysincoscoscos，只需把ycos x的图象向右平移个单位长度即得到ysin. 类型3伸缩变换【例3】已知函数ysin，该函数的图象可由ysin x，xR的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)先由ysin x平移得到ysin，再伸缩得到ysin与先伸缩得到ysin 2x，再平移得到ysin，两次平移的量是否相同？解法一(先平移后伸缩
7、)：把函数ysin x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数ysin的图象；把函数ysin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数ysin的图象；把函数ysin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可以得到函数ysin的图象；再把得到的函数ysin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数ysin的图象法二(先伸缩后平移)：把函数ysin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，而纵坐标不变，得到函数ysin 2x的图象；把函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度，可以得到函数ysin的图象；把函数ysin的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，而横坐标不变，可以得到函数ysin
8、的图象；再把得到的函数ysin的图象向上平移个单位长度，就能得到函数ysin的图象三角函数图象伸缩变换的方法3把函数yf(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y2sin，则f(x)的解析式是()Af(x)3cos xBf(x)3sin xCf(x)3cos x3Df(x)sin 3xAy2siny3siny3siny3sin3sin3cos x1要得到ytan x的图象，只需把ytan的图象()A向左平移个单位B向左平移个单位C向右平移个单位D向右平移个单位答案D2若函数 ysin 2x的图象向左平移个单位得到yf(x)的图象
9、，则()Af(x)cos 2xBf(x)sin 2xCf(x)cos 2xDf(x)sin 2xA依题意得f(x)sin sincos 2x.故选A.3如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系yAsin(x)1，则()A，A4B，A3C，A5D，A4A由题意可得T，可得，由图象可知y的最大值为5，sin(x)1时取得最大值，5A1，解得A4.4函数ycos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为ycos x，则的值为_函数ycos xycosx.所以.5由y3sin x的图象变换到y3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移_个单位，后者需向左平移_个单位y3sin xy3siny3sin，y3sin xy3siny3sin3sin.回顾本节知识，自我完成以下问题：1你能描述一下由ysin x的图象，通过图象变换得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象的变换途径吗？提示(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)(2)ysin xysin xysinsin(x)yAsin(x)2上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？提示若先相位变换后周期变换，平移|个单位；若先周期变换后相位变换，平移个单位