1、第2课时单调性与最值学 习 任 务核 心 素 养1掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间(重点、易混点)1通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养2结合函数图象，培养直观想象素养.过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径问题：(1)函数
2、ysin x与ycos x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是ysin x，ycos x的哪些性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应ysin x，ycos x的哪些性质？ysin x，ycos x在什么位置取得最大(小)值？知识点正弦函数、余弦函数的图象和性质解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在，kZ上单调递增，在，kZ上单调递减在2k，2k，kZ上单调递增，在2k，2k，kZ上单调递减最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin11.函数ysin x的单调递增区间唯一吗？提示
3、不唯一2.函数ysin x取得最大值时对应的x的值唯一吗？提示不唯一1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)正弦函数、余弦函数在R上都是单调函数. ()(2)存在xR满足cos x1.2.()(3)函数ysin x，x的最大值为0.()答案(1)(2)(3)2.(多选)在下列区间中，函数ysin x是单调递增的是()A0，BCD答案CD3.函数y2cos x的最大值为_，此时x_.22k，kZ当x2k，kZ时y2cos x取得最大值2. 类型1求正弦函数、余弦函数的单调区间【例1】求函数y2sin的单调区间解令zx，则y2sin z.zx是增函数，y2sin z单调递增时，函数y2si
4、n也单调递增由z(kZ)，得x(kZ)，即x(kZ)，故函数y2sin的单调递增区间为(kZ)同理可求函数y2sin的单调递减区间为(kZ)1求函数f(x)2sin，x0,2的单调区间解由例题知f(x)2sin的单调递增区间为kZ.又x0,2，0x或x2，同理函数f(x)2sin，x0,2的单调递减区间为.函数f(x)2sin，x0,2的单调递增区间为，单调递减区间为.2求函数ysin的单调递增区间解ysinsin，令zx，而ysin z的单调递增区间是，kZ，令2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，函数ysin的单调递增区间为，kZ.1求形如yAsin(x)b或形如yAcos(x)b(其中A
5、0，0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若0，0时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律1(1)函数ysin，x的单调递减区间为_(2)已知函数ycos，则它的单调递减区间为_(1)，(2)(kZ)(1)由2k3x2k(kZ)，得x(kZ)又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.(2)ycoscos，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，函数ycos的
6、单调递减区间是(kZ) 类型2利用三角函数的单调性比较大小【例2】(对接教材P206例题)利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)sin 196与cos 156；(3)cos与cos.解(1)，sinsin.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，sin 16sin 66，从而sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(3)coscoscoscos，coscoscoscos.0，且ycos x在0，上是单调递减的，coscos，即coscos.三角函数值大小比
7、较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内(2)不同名的函数化为同名的函数(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小2(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()Asin sin Bcos sin Ccos cos Dcos cos (2)比较下列各组数的大小：cos，cos；cos 1，sin 1.(1)B，为锐角三角形的两个内角，所以cos cossin .(2)解coscos，coscos，因为0，而ycos x在0，上单调递减，所以coscos，即cosc
8、os.因为cos 1sin，而011且ysin x在上单调递增，所以sinsin 1，即cos 1sin 1. 类型3正弦函数、余弦函数的最值问题【例3】(1)求函数y2cos，x的值域；(2)(对接教材P205例题)求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合(1)常借助三角函数的哪些性质求形如yasin x，xm，n的最值？(2)对于形如yasin2xbsin xc的函数如何探求其最值？解(1)x，02x，cos0，0)的单调区间？提示把x看成一个整体，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2如何利用函数单调性比较sin 与sin 的大小关系？提示比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3求三角函数最值或值域的常用方法有哪些？提示单调性法或配方法或换元法等