1、高考资源网（） 您身边的高考专家中国人民大学附属中学2019届高三10月统一练习数学(理)试题说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）1.若集合AxZ|x|3，BxZ|x23x40，则AB（）A. 0，1，2B. 2，1，0，1，2，3C. 1，0，1，2，3D. 3，2，1，0，1，2，3，4【答案】A【解析】【分析】化简集合后
2、利用集合的交集运算进行运算可得.【详解】因为集合,所以,故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设命题，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.已如函数f（x），则f（）+f（）（）A. 2B. 2C. D. 0【答案】D【解析】【分析】利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入和计算可得.【详解】因为f（x）,所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题.4.“”是“”的（ ）
3、A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A考点：1二倍角公式；2充分条件和必要条件判定【此处有视频，请去附件查看】5.设a0，b0，e是自然对数的底数A. 若ea+2a=eb+3b，则abB. 若ea+2a=eb+3b，则abC. 若ea-2a=eb-3b，则abD. 若ea-2a=eb-3b，则ab【答案】A【解析】【详解】若，必有构造函数：，则，则恒成立，故有函数在x0上单调递增，所以ab成立故选A6.已知曲线y2sin（x）cos（）与直线y相交，若在y轴右侧的交点自
4、左向右依次记为P1，P2，P3，则|P1P5|等于（）A. B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】将化为,根据已知条件得到关于的方程,求出方程的解,进而得到的横坐标,从而可得的值.【详解】因为 ,所以由,得,所以或,所以或,所以的横坐标依次是,所以.故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.7.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项
5、即可得到结果【详解】当时，故函数图像过原点，排除又，令则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有符合要求故选【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证8.已知函数是定义在R上的偶函数，对任意都有，当，且时，给出如下命题：； 直线是函数的图象的一条对称轴；函数在上为增函数；函数在上有四个零点.其中所有正确命题的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行
6、判定【详解】令，则由，函数是定义在上的偶函数，可得：，故，故正确由可得：，故函数是周期等于6的周期函数是偶函数，轴是对称轴，故直线是函数的图象的一条对称轴，故正确当，且时，故在上为增函数是偶函数，故在上为减函数函数是周期等于6的周期函数故在上为减函数，故错误函数是周期等于6的周期函数故函数在上有四个零点，故正确综上所述，则正确命题的序号为故选【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)9.函数的定义域为_【答案】2
7、，+）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.10.计算【答案】【解析】分析】先求出被积函数2x的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可【详解】解：（2x）dx（x2+lnx） e2+lne1ln1e2故答案为e2【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题11.如图，点P是函数y2sin（x+）（xR，0）图象的一个最高点，M、N是图象与x轴的交点，若MPN为直角三角形，则_【答案】【解析】【分析】结合题意
8、得到,所以周期,再根据周期公式可得答案.【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN的高为2，MPN直角三角形，根据对称性知MPN为等腰直角三角形，即MN4，即三角函数的周期T8，由T8，得，故答案为:.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题.12.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinC2sinA，b2a2ac，则sinB等于_【答案】【解析】【分析】由sinC2sinA以及正弦定理得c2a，再由b2a2ac得ba,然后由余弦定理可求得,根据同角公式可得.【详解】由sinC2sinA以及正弦定理得c2a，又b2a2ac，得b2a2a2
9、aa2，即b22a2，则ba，由余弦定理得cosB，因为,所以sinB，故答案为:.【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.13.已知函数，其中c0.那么f(x)的零点是_；若f(x)的值域是，则c的取值范围是_【答案】 (1). 1和0 (2). (0,4【解析】【分析】根据分段函数概念，分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f（x）的零点根据二次函数的图象与性质，求出当x-2，0）时，函数f（x）的值域恰好是，2，所以当0xc时，f（x）=的最大值小于等于2，即可解出实数c的取值范围.【详解】当x0时，令=0，得x=0； 当x0时，令x2+x=0，得x
10、=-1或x=0（舍去）f（x）的零点是-1和0函数y=x2+x= ，在区间-2，-）上是减函数，在区间（-，0）上是增函数当x-2，0）时，函数f（x）最小值为f（-）=-，最大值是f（-2）=2当0xc时，f（x）= 是增函数且值域为0，f（x）的值域是，2， 2，即0c4【点睛】函数的零点是实数，是方程f（x）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f（x）与x轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.14.设集合 ，记 为同时满足下列条件的集合 的个数： ； 若 ，则 ；若 ，则 则（1） =_；（2）
11、 的解析式（用 表示） =_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】（1）当时，符合条件的集合为，所以（2）任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，于是，其中为奇数，由条件知，若，则；若，则于是是否属于由是否属于确定设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或），所以. 点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.三、解答
12、题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.)15.在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求，然后求试题解析：解（1）因为，所以由正弦定理知，所以（2）在中，所以，于是又故因为，所以因此【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即
13、注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.【此处有视频，请去附件查看】16.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1） 证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科【解析】【详解】中，要证明掌握程度的增加量总是下降，只需利
14、用函数的单调性证明单调递减即可；中，根据题意，建立方程求的估计值，结合给出的范围，进行判断.证明：当时，函数单调递增，故单调递减，所以当时，掌握程度的增加量总是下降.解：由题意知整理可得所以由此可知，该学科为乙科.【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数f（x）cos（2x）+2sin（）sin（x）（）求f（x）的单调递增区间；（）求函数yf（x）的对称轴方程，并求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值【答案】（）k，k，kZ； （）最小值为1，最大值为【解析】【详解】（）f（x）cos（2x）+2sin（）sin（x）cos2xcossin2xsin2cos（x）sin（x）cos2xs
15、in2x+sin（2x）cos2xsin2x+cos2xcos2xsin2xcos（2x），由2k2x2k，kZ得kxk，kZ，即函数的单调递增区间为k，k，kZ（）由2xk得x，即函数的对称轴方程为x，kZ，当时，2x，2x，所以当2x,即时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（x）cos1，当2x,即时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（x）cos【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.18.设函数f（x）xx2+3lnx（）求函数f（x）的极值；（）证明：曲线yf（x）在直线y2x2的下方(除点外)【答案】（）极大值3ln；无极小值
16、； （）见解析.【解析】【分析】（）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;（）令g（x）f（x）2x+2x2x+2+3lnx，（x0），转化为证明,利用导数求得最大值即可证明结论.【详解】（）f（x）的定义域是（0，+），f（x）12x，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，故f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，故f（x）极大值f（）3ln3ln；无极小值；（）令g（x）f（x）2x+2x2x+2+3lnx，（x0），g（x）2x1，令g（x）0，解得：0x1，令g（x）0，解得：x1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，故g（x）maxg（1）11+2+3
17、ln10，故曲线yf（x）在直线y2x2的下方(除点外)【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.19.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.（）求的值;（）若时,求取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值（2） 由（1）知，,令,即证时先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值使其最小值大于等于0即可试题解析：（1）由已知得，而，（4分）（2）由（1）知，设函数，由题设可得，即，令得, （6分）若，则，当时，当时，即
18、F（x）在单调递减，在单调递增，故在取最小值，而当时，即恒成立 （8分）若，则，当时，在单调递增，而，当时，即恒成立，若，则，当时，不可能恒成立 （10分）综上所述，的取值范围为（12分）考点：用导数研究函数的性质【此处有视频，请去附件查看】20.对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合已知4，6，8，2，4，8，写出和的值，并用列举法写出集合；用表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值；有多少个集合对，满足P，且？【答案】(1),，(2)4，（3）128【解析】试题分析：（）依据定义直接得到答案；（）根据题意可知：对于集合,且,则;若且,则.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出的最
19、小值（）由P，QAB，且（PA）（QB）=AB求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数试题解析：(),.()根据题意可知：对于集合,且,则;若且,则.所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.所以当为集合1,6,10,16的子集与集合2,4,8的并集时,取到最小值4.()因为,所以.由定义可知：.所以对任意元素,.所以.所以.由知：.所以.所以.所以,即.因为,所以满足题意的集合对的个数为.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,若且,则;若且,则，由此可得结论；(3)由题意易得，由定义可知：，易知，由可得，则结论易得.高考资源网版权所有，侵权必究！