1、不等式 推理与证明第七章第五节合情推理与演绎推理高考概览1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由到、由到的推理全部对象部分整体个别一般(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象
2、也具有的推理特点：是由到的推理这些特征特殊特殊温馨提示 由归纳推理的特点可知，归纳出的结论不一定是正确的同样通过类比得到的结论也不一定正确在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由到的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的小前提所研究的结论根据一般原理，对作出的判断 一般特殊一般原理特殊情况特殊情况小题速练1数列 2,5,11,20，x,47，中的 x 等于()A28 B32 C33 D27解析 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等差
3、数列，所以 x201232.答案 B2演绎推理“因为对数函数 ylogax(a0 且 a1)是增函数，而函数 ylog12 x 是对数函数，所以 ylog12 x 是增函数”所得结论错误的原因是()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D大前提和小前提都错误解析 因为当 a1 时，ylogax 在定义域内单调递增，当0a0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析 若 a，bC，ab0，则 ab，故的结论成立；若 a，b，c，dQ，ab 2cd 2，则 ac，bd；故的结论成立；由(3i)(2i)0 不能得出 3i2i，故的结论不
4、正确选 C.答案 C5在等差数列an中，若 a100，则有 a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若 b91，则 b1b2b3bn_.解析 由等比数列的性质 bn1b17nbn2b16nb291，得 b1b2bnb1b2b3b4b17n(n17，nN*)答案 b1b2b3b4b17n(n2，f(8)52，f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_解析 f(21)32，f(22)242，f(23)52，f(24)62，归纳得f(2n)n22(nN*)答案 f(2n)n22(nN*)3分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在 20 世纪 70 年代创
5、立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图若记图(2)中第 n 行黑圈的个数为 an，则a2018_.解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为2 个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，第 4 行的白圈数为 25414，黑圈数为 52413，所以第 4 行的“坐标”为(14,13)，同理可得第 5 行的“坐标”为(41,40)，第 6 行的“坐标”为(122,121
6、)，.各行黑圈数乘 2，分别是 0,2,8,26,80，即 11,31,91,271,811，所以可以归纳出第 n 行的黑圈数 an3n112(nN*)所以 a20183201712.答案 3201712考点二 类比推理偶考点(1)我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式 11111中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11xx 求得 x 512.类比上述过程，则20182017 20182017 _.(2)(2017 山 东 烟 台 模 拟)在 正 项 等 差
7、 数 列 an 中 有a41a42a6020a1a2a100100成立，则在正项等比数列bn中，类似的结论为_思路引导 根据事物性质进行类比解析(1)由题意可得 20182017xx(x0)，整理得(x1)(x2018)0(x0)，解得 x2018.即20182017 20182017 2018.(2)由等差数列的性质知，a41a42a602010a41a6020a1a1002，a1a2a10010050a1a100100a1a1002，所以a41a42a6020a1a2a100100.在正项等比数列bn中，类似的有：20 b41b42b43b6020 b41b601020 b1b10010
8、b1b100，100 b1b2b3b100100 b1b10050 b1b100，所以20 b41b42b43b60100 b1b2b3b100.所以在正项等比数列bn中，类似的结论为20 b41b42b43b60100 b1b2b3b100.答案(1)2018(2)20 b41b42b43b60100 b1b2b3b100(1)类比推理常见类型有：类比定义从定义出发求解，类比性质从特殊式子、特殊图形的性质入手，深入思考二者的转化过程类比方法处理问题的方法具有类比性，注意知识的迁移类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线
9、间的类比等(2)求解类比推理题的关键是：会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题(猜想)跟踪演练1设ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S，则ABC 的内切圆半径为 r2Sabc.将此结论类比到空间四面体：设四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，体积为 V，则四面体的内切球半径为 r()A.VS1S2S3S4B.2VS1S2S3S4C.3VS1S2S3S4D.4VS1S2S3S4解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 r，所以四面体的体积等于以 O 为
10、顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和，则四面体的体积为：V13(S1S2S3S4)r，r3VS1S2S3S4.答案 C2若数列an是等差数列，对于 bn1n(a1a2an)，则数列bn也是等差数列类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于 dn0，则 dn_时，数列dn也是等比数列解析 当 bn1n(a1a2an)时，数列bn也是等差数列类比推断，若数列cn是各项均为正数的等比数列，则当 dnn c1c2cn时，数列dn也是等比数列答案 n c1c2cn考点三 演绎推理热考点 数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2n Sn(nN)证明：(1)数列Sn
11、n 是等比数列；(2)Sn14an.思路引导(1)将an1Sn1Sn代入已知条件 得到Sn1与Sn的关系式 利用定义证明(2)由已知得an与Sn1的关系 只需寻求Sn1与Sn1的关系 利用1推证证明 an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn.又S11 10，故Snn 是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(2)由(1)可知 Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1 Sn14an(n2)又 a23S13，S2a1a21344a1.对于任意正整数 n，都有 Sn14an.演绎推理是由一般到特殊
12、的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提演绎推理常以新定义命题的形式考查跟踪演练设数列an的前 n 项和为 Sn，且 an2Sn1n2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 Tni1n2aiai2(nN*)，求证：1Tn103(nN*)解(1)因为 an2Sn1n2，所以 Snn2an12，所以 a1S13a112，解得 a11.当 n2 时，anSnSn1n2an12n1an112，所以 nan(n1)an1(n2)，即 ann1n an1(n2)所以 a232a
13、1，a343a2，a454a3，ann1n an1，将以上(n1)个式子相乘，得 ann12 a1n12(n2)，又当 n1 时，a11 也适合，故 ann12.(2)因为2anan28n1n341n1 1n3，所 以 Tn 41214 1315 1416 1n1 1n3 41213 1n2 1n3 103 4n2 4n3103.又 Tn103 4n2 4n3103 412 4131，所以 1Tnxyz，若教师人数为 4，则 4yx8，当 x7 时，y 取得最大值 6.当 z1 时，1zyx2，不满足条件；当 z2 时，2zyx4，不满足条件；当 z3 时，3zyx6，y4，x5，满足条件所以
14、该小组人数的最小值为 34512.答案(1)D(2)6 12合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比感悟体验1(2016北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红
15、球一样多解析 若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；又由于袋中有偶数个球，且红球、黑球各占一半，则每次从袋中任取两个球，抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选 B.答案 B2(2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_解析 由丙说的话可知，丙的卡片上的数字可能是“1 和2”或“1 和 3”若丙的卡片上的数字是“1 和 2”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2 和 3”，甲的卡片上的数字是“1 和 3”，此时与甲说的话一致；若丙的卡片上的数字是“1和 3”，则由乙说的话可知，乙的卡片上的数字是“2 和 3”，甲的卡片上的数字是“1 和 2”，此时与甲说的话矛盾综上可知，甲的卡片上的数字是“1 和 3”答案 1 和 3
