1、4.3对数4.3.1对数的概念学 习 任 务核 心 素 养1理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重点)2掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(难点)1通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象的素养2通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算的素养.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，.问题依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？知识点1对数的概念(1)对数的定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，
2、其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)常用对数与自然对数对数运算是指数运算的逆运算1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)logaN是loga与N的乘积()(2)(2)38可化为log(2)(8)3.()(3)对数运算的实质是求幂指数()(4)在blog3(m1)中，实数m的取值范围是(1，)()答案(1)(2)(3)(4)2.若a2M(a0且a1)，则有()Alog2MaBlogaM2Clog22MDlog2aMBa2M，logaM2，故选B.知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数(2)loga 10(a0，且a1)(3)logaa1(a0，且a1)为什么零和负数没有对数？提示
3、由对数的定义：axN(a0且a1)，则总有N0，所以转化为对数式xlogaN时，不存在N0的情况3.填空：(1)ln e_；(2)lg 10_；(3)ln 1_；(4)lg 1_.答案(1)1(2)1(3)0(4)0 类型1指数式与对数式的互化【例1】(对接教材P122例题)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)27；(2) 325；(3)lg 1 0003；(4)ln x2.解(1)由27，可得log27.(2)由 325，可得532.(3)由lg 1 0003，可得1031 000.(4)由ln x2，可得e2x.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要
4、将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)32；(2)216；(3)273; (4)log646.解(1)log32；(2)62；(3)327；(4)()664. 类型2利用指数式与对数式的关系求值【例2】(对接教材P123例题)求下列各式中的x的值：(1)log64x； (2)logx 86；(3)lg 100x; (4)ln e2x.解(1)x64(43)42.(2)x68，所以x(x6)8(23)2.(3)10x100102，于是x2.(4)由ln e
5、2x，得xln e2，即exe2，所以x2.求对数式logaN(a0，且a1，N0)的值的步骤(1)设logaNm.(2)将logaNm写成指数式amN.(3)将N写成以a为底的指数幂Nab，则mb，即logaNb.2计算：解(1)设xlog9 27，则9x27,32x33，x. 类型3应用对数的基本性质求值【例3】(1)设5log5(2x1)25，则x的值等于()A10B13C100D100(2)若log3(lg x)0，则x的值等于_等式alogaNN(a0，且a1，N0)成立吗？(1)B(2)10(1)法一：由5log5(2x1)25得2x125，所以x13，故选B.法二：由5log5(
6、2x1)52得log5(2x1)2，即2x15225，x13，故选B.(2)由log3(lg x)0得lg x1，x10.若本例(2)的条件改为“ln(log3x)1”，则x的值为_3e由ln(log3x)1得log3xe，x3e.1利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解2性质alogaNN与logaabb的作用(1)alogaNN的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式(2)logaabb
7、的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数3求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)0；(2)log3(lg x)1；(3)x71log75.解(1)log2(log5x)0，log5x1，x5.(2)log3(lg x)1，lg x3，x103. (3)x71log75.1(多选)下列说法正确的有()A只有正数有对数B任何一个指数式都可以化成对数式C以5为底25的对数等于2D3log3aa(a0)成立ACDACD均正确(2)38不能化成对数式223化为对数式为()A23B(3)2Clog23Dlog2(3)答案C3在bloga(5a)中，实数a的取值范围是()Aa5或a0B0a1或1
8、a5C0a1D1a5B由对数的定义可知解得0a0，且a1，N0)(2)在关系式axN中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算2若方程logaf(x)0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)1呢？(其中a0且a1)提示若logaf(x)0，则f(x)1；若logaf(x)1，则f(x)a.3下列等式成立吗？(1)logaabb；(2)alogaNN，(其中a0且a1，N0)提示均成立素数个数与对数我们已经知道，像2,3,5,7这样只能被1和它自己整除的正整数称为素数(也称为质数)例如，100以内的所有素数为2,3,
9、5,7,11,13,17，19,23,29,31,37,41，43,47,53,59,61,67，71,73,79,83,89,97.探索素数出现的规律，是有些数学家们非常关心的问题特别地，设x是正整数，用(x)表示不超过x的素数个数，寻找(x)的近似表达式，历史上曾引起了很多数学家的注意当然，我们可以取x为一些常数，然后求出(x)的值来进行观察和归纳可能会让你感到惊讶的是，(x)的近似表达式与自然对数有关事实上，数学家们已经证明，当x充分大时，(x).这一结果可以从下表中直观感受到x(x)相对误差1 00016814513.69%5 00066958712.26%10 0001 2291 08611.64%50 0005 1334 6219.97%100 0009 5928 6869.45%500 00041 53838 1038.27%1 000 00078 49872 3827.79%5 000 000348 513324 1506.99%注：如果A的近似值为a，那么相对误差指的是100%.
