1、4.1指数第1课时根式学 习 任 务核 心 素 养1理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质(重点)2能利用根式的性质对根式进行运算(重点、难点、易错点)1通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养2借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养.公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了问题：若x23，则这样的x有几个？它们叫做3的什么？如何表示？知识点1根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果xna，那么x叫
2、做a的n次方根，其中n1，且nN*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数Rn为偶数0，)(3)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数1.根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？提示当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a1，且nN*)(1)n为奇数时，a.(2)n为偶数时，|a|(3)0.(4)负数没有偶次方根2.()n中实数a的取值范围是任意实数吗？提示不一定，当n为大于1的奇数时，aR；当n为大于1的偶数时，a0.2.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1
3、)实数a的奇次方根只有一个()(2)当nN*时，()n2.()(3)4.()答案(1)(2)(3)3.(1)_；(2)_.(1)8(2)3(1)8；(2)|3|3. 类型1由根式的意义求取值范围【例1】写出使下列各式成立的实数x的取值范围(1)；(2)(5x).解(1)x30，x3.即实数x的取值范围为x|x3(2)由题意可知5x5，实数x的取值范围为x|5x5对于，当n为偶数时应注意两点(1)只有a0才有意义(2)只要有意义，则必有0.1若，则实数a的取值范围是_因为，13a0，a. 类型2利用根式的性质化简求值【例2】(对接教材P105例题)化简下列各式：(1)()5；(2)()6；(3)
4、.解(1)原式(2)(2)4.(2)原式|2|2224.(3)原式|x2|正确区分与()n(1)()n已暗含了有意义，依据n的奇偶性可知a的范围(2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性2化简下列各式：(1)(a1)；(2).解(1)a1，3a30，|3a3|33a.(2)a|1a| 类型3有限制条件的根式的化简【例3】(1)若x0，则x|x|_.(2)若3x3，求的值(1)1x0，|x|x，|x|x，x|x|xx11.(2)解|x1|x3|，当3x1时，原式1x(x3)2x2.当1x3时，原式x1(x3)4.综上，原式将本例(2)的条件“3x3”改为“x3”，则结果又是什么？解原式|x
5、1|x3|.因为x3，所以x10，x30，所以原式(x1)(x3)4.有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负3已知1x2，化简.解1x2，x20，|x2|x1|2x(x1)12x.1(多选)已知aR，nN*，给出下列4个式子，其中有意义的是()A.BC.DBCD结合根式的定义可知BCD均有意义，故选BCD.2已知m102，则m等于()A.BC.DDm102，m是2的10次方根又10是偶数，2的10次方根有两个，且互为相反数m.3()4运算的结果是()A2B2C2D不确定答案A4若x35，则x_.若x35，则x.5._.1431.回顾本节知识，自我完成以下问题：1若xna，则x的值有几个，如何表示？提示当n为奇数时，若xna，则x.当n为偶数时，若xna，则x (其中a0)2. 与()n相同吗？提示与()n不同，前者求解时，要注意n为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者()na是恒等式，只要()n有意义，其值恒等于a.