1、微专题2二次函数的最值问题与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法 类型1不含参数的二次函数最值问题【例1】已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值(1)R；(2)0,3；(3)1,1解f(x)3x212x53(x2)27，作出函数yf(x)的图象，如图所示(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立故当xR时，函数f(x)的最小值为7，无最大值(2)由图可知，在0,3上，函数f(x)在x0处取得最大值，最大值为5；在x2处取得最
2、小值，最小值为7.(3)由图可知，函数f(x)在1,1上单调递减，在x1处取得最大值，最大值为20；在x1处取得最小值，最小值为4. 类型2含参数的二次函数最值问题【例2】求函数f(x)x22ax1(a为常数)在0,2上的最值解f(x)(xa)21a2，对称轴为直线xa.(1)当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a. 图图(2)当0a2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，f(x)minf(x)max【例3】求函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值g(t)解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴
3、为直线x1.图 图图当t11，即t1时，函数图象如图所示，函数f(x)在区间t，t1上单调递增，所以最小值为f(t)t22t2.综上可得，g(t) 类型3与二次函数有关的恒成立、能成立问题【例4】已知二次函数g(x)mx22mxn1(m0)在区间0,3上有最大值4，最小值0.(1)求函数g(x)的解析式；(2)设f(x)，若f(x)kx0在x时恒成立，求实数k的取值范围解(1)g(x)m(x1)2m1n，函数g(x)图象的对称轴方程为x1.又m0，依题意得即解得g(x)x22x1.(2)f(x)，f(x)x4.f(x)kx0在x时恒成立，即x4kx0在x时恒成立，k21在x时恒成立只需kmax，x.令t，由x，得t.设h(t)t24t1(t2)23，则函数h(t)图象的对称轴方程为t2，当t8时，函数h(t)取得最大值33，kh(t)maxh(8)33，实数k的取值范围为33，)
