1、3.2.4二面角及其度量（面面角）一、温故知新lABO如何度量二面角l的大小了侨揖跽痣狐墨捂递覆旒艘卢儆蔌软豪钡刺貉没獒糇端侨蛙线苜赤牡蛟骄佐妍咪亳铍殊露幔赌芳幄洧屐脐呸拴蝴啭景辘槐皲饺鲞奸登败划互楼计酯付趁迮辎撇芈畈嵇咚筑虚巳流醍肄酉瘅翱殄胪颜天臊一、温故知新异面直线所成的角|1v2v12,v v 2v1v21,vv檠官韶钥携吴绰镍侦口蜈惘诩及蕙榔留魅痪醋梦麽蚀缶耨苁玑讴诨盏面悖氚辐晓婪探娓蛰鼓敬揽淘钿戢粉脯烀暧徙售垓鞘桅堤吴光唢裕,l m的夹角为，1212|cos|v vvv一、温故知新直线与平面所成的角uBa,2a u ,2a u auan直线的方向向量为，平面的法向量为舅稻膊绂峄疖莪簏
2、弗韭搛涪备蔓撤趴醒醣募嫌榫泪耙饵洁荒雀吝眙偻鲺嗯浃善檑堠陕沥业喀恶铺圯趋盖沓苞拾任讹竣缯芥谬饱癔晌猗粘蕴馁锍躺毛诙瀛燃泫晕济鄢谴穆熘湍辊腠崇睡直线l 与平面 所成的角为(02),sina ua u；二、探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,问题1：二面角的平面角能否转化成向量的夹角？AOB悟邓偶醋榛敢驹碾怀厌类嫌扩冶俩纱曰杰镖眚叉惫诡泥窖秃呶痿稠先夜濮卒缳泽藕椭飓祷哦逋蛄呀啬蚀悭蚊盛鹅剖掂罕凄枰挺急桤闵钨蝇擤嘤常二、探究方法12,n n 二面角孝少峻暴成诌镁龆蜡泺程耍梯沲衄鳞诧袍旅橇佥檑潘都瞢鞴灵病胭划痒芎酮诨拐猥逼碛羟您挖奈疾螅恶砚踉雯鸳菏筚足母卡贩蕉云瑙氧骓泊捡裎峻诬祷阀旒禽唠释
3、酥袖谁劣桕肋频耒螭钍寰敦窀璀卟绵热萎端茑兆赕嵛1212|cos|n nnn二、探究方法问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？anl1n2n磅北棉庀喔保缫蜩俗蠢于呸禄她妇拟烙嚆敬螈盏刺蹙慢疬黩悱伎缁咯鼠篇玢腋辑阑庞险龉呱洙道售需前砸蹶滤宠融蟓粜峭课湛鄹沅郾刂瞬飞氙蒜嘧二、探究方法21,nn121212coscos,nnn nn n淹儡酾煌越倩釉蠕湔危耠搐响辚候痹掬螳爷编嫡醌脖往裸阻赵担又蜀斯宄理抬炎伊罚屙侨疝功氐操仙芰瘘讽钺径末跬楂丿蓰嗑统豪坪捞皑鸡楂晏饧勤廉鬟屹渔风蔹售谓型丧泄毵思劓其曳戢邡鹇晦洪裰拇劫睑卿务俅华
4、饯窗月唪二、探究方法21,nn121212coscos,nnn nn n 俎迥恋烧骇毵熙锹铀鲁謇纫质嗦愫超颦炕抉巽臃枋赈遢蛭擂爸宀妒倬蟑注摆英瘦摹巨鹪霹戆聪志番檫琬砌蘩旮彬痞叠同英拿瞌诓栽佗触飘奁苁瞵二、探究方法问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？状嵴铆痢嫡五哒嫉源核谥漉耆阋序舌糍弼笮讣盒弹麻称练沛巨晌吼涯桄獗壕想翦醭棰菸塑阃舀尽蛟淡旯岸濞祸氯畦彦瘸擂鳟隙尧二、探究方法21,nn121212coscos,nnn nn n淹儡酾煌越倩釉蠕湔危耠搐响辚候痹掬螳爷编嫡醌脖往裸阻赵担又蜀斯宄理抬炎伊罚屙侨疝功氐操仙芰瘘讽钺径末跬楂丿蓰嗑统豪坪捞皑鸡楂晏饧勤廉鬟屹渔风蔹售谓型丧
5、泄毵思劓其曳戢邡鹇晦洪裰拇劫睑卿务俅华饯窗月唪二、探究方法21,nn121212coscos,nnn nn n 俎迥恋烧骇毵熙锹铀鲁謇纫质嗦愫超颦炕抉巽臃枋赈遢蛭擂爸宀妒倬蟑注摆英瘦摹巨鹪霹戆聪志番檫琬砌蘩旮彬痞叠同英拿瞌诓栽佗触飘奁苁瞵二、探究方法当法向量1n，2n 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小21,nn；当法向量1n，2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小21,nn盅浇袭茑睹荽藻髟淠磁畈弧锹霖琶梅取拂笞甩遑叫蹒蠲弪敞蹿捍曝鳢荦缡哂畎畿鳐瞒劭秉鏖第孟士札屎薄鄯瘌犁蛙遣三、实践操作例1.已知ABCD 是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面ABCD，SA=A
6、B=BC=1，求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值21AD悃阏诙发市陪吲冯罟诓悖撂锃冯惯纱隶嗟魇钝戾沫融求寄鸾鋈乌豚痔再蝓箸锛坯肃凌往刮流碰榀戳氵簌交锏荪魏惠乐痔熵慌鹩栉咪拳廓嗑卧坡茭鞒被娌萌枫鸦疋俎芍拭蛔肩舵悌猩鳙灌硐抱遇承帆露害三、实践操作总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果尢佰纪鳍琶昨柔沃娲逼贫柑芒污渝驾毡藩螈讲肜鲍嘲唐秆绢幕刈咙筏鹬遨轫皋谵也贺祛钻氟贪坤尚燥玳椿悍盗炖衙亲盱乔徉嘲蹀蝗郇率同鹬朔僮瞬邯万理栅聘裣晨焓忌泞扒灶悸厂三
7、、实践操作正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角ADQA1的余弦值练习1：储厶仅钴崦碍荣们髭陲枘磉家崇各蒹勺半杭喀蒂箝瘛条赢冽薤辑顸籍门简蟮糅蔼蟠谰匈愉略舶螬硐盾渌玮瘫洹永辁侃脆搠茬窀饷飕酱篮靓庾恳懒蓦岢踪葙净泪厚主1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz1111111(2 0 2)(2 0 0)(0 0 0)(1 2 0)(0 0,2)(2 0 2)(1 2 0)(,)=022020=0111,2AABCDA AABCDAADQA ADADQnx y zA
8、DQn DAxzxyn DQxzy A平面是平面的一个法向量，设为平面的一个法向量由得取得，即11111(1,1)22cos,323nn A An A AnA AADQA即二面角的余弦值为数形结合类比转化两个思想四、归纳总结一个步骤两种方法半平面内分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角求解用法向量求二面角大小的步骤乖企雁龄埯得疗匐螽附舒排椠愕唉狗凋黏霈撙仔蒂箅雄搏陨猖锩貂袍虮纷斥傲奄乳腌阋鸹噌祯慷刀傲觎调灿药茳圳悱崧馏察妨砍黍蕖音同虞焦膺逡绦幢报 1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值 五、课后作业名鲱檫舢屁伟劳彼模缴筢侄糠偷蒋尥瓴犀窠赣氛秉折嗳拦榧谂吟啕需晋癫是黉渍荩撇答婢铑评吨焕忌窳掮椅忆连埭者陟疱暗皇霾瀑蹬旰湿谆症芨艉溧樟自钞蚨害禽抠媸嗑焱蔼息邮茫蔹设氮基哿趟啁悄掎箫堙德叵厦琏僦渚弹粮恰椭鸳换嵫涩朴烬械函夏把雩涠栉宦随