1、平面内一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l，二面角也可以记作AlB。DCBAOBBAAOOl在二面角l的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OAl，OBl,则AOB叫做二面角l的平面角，显然，这个平面角与点O在l上的位置无关.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾斜角是68.5，这个倾斜角指的人造卫星的轨道平面与地球的赤道平面所成的角。本书中，我们约定，二面角不小于0
2、，不大于180。即0 180平面角是直角的二面角叫做直二面角,互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量。m 2 m 1 n 2 n 1DCl如图所示，分别在二面角 l 的面，内，并且沿，延伸的方向，作向量1n l，2n l，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。如图，设1m，2m，则角与该二面角相等或互补。例1如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm，CD=cm，求这个二面角的度数。2 17DCBA解：设,AC BD=x，由已
3、知 CAAB，ABBD 得0,AC ABBD AB,180CA BDx，因此22|()CDCAABBD=222|2|cos(180)CAABBDCABDx代入已知线段的长度，得2222(2 17)6482 6 8(cos)x ，解得 cosx=21，得 x=60.因此所求的二面角的度数是 60.例2已知：二面角l的度数为(0 )，在面内有ABC，它在内的射影为ABC，它们的面积分别为S，S，求证：S=Scos.2ADCBA证明：不妨假定ABC的边BC在l上，作BC边的高AD，AD在内的射影为AD，根据正射影的性质，知AD=ADcos，S=BCAD=BCADcos=Scos.例3已知ABCD是直
4、角梯形，DAB=ABC=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SAB与SCD的夹角的正切。21Szyx nDCBA解：令,BCi ABj ASk，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系O：,ij k，则,ij k 为 单 位 正 交 基 底，于 是 可 得(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ijk，1(,0,1),(1,1,1)2SDSC，设平面 SCD 的法向量为(,)nx y z，则0,0n SDn SC，用坐标表示得1(,)(,0,1)02x y z，(,)(1,1,1)0 x y z，即1020 xzxyz，把 z 作为未知数，解得 x=2z，y=z，令 z=1，得 x=2，y=1，得 n=(2，1，1)，因此cos,|i ni nin=222222(2,1,1)(1,0,0)632(1)1100，设平面 SAB 与 SCD 的夹角为，由图形知，=,i n 为锐角，所以 cos=63，tan=22.解2：画出二面角的平面角：HESDCBA例4已知E,F分别是正方体ABCDA1B1 C1D1的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角CD1B1B的大小。60（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角CD1B1B的大小。1arccos 36arcsin 3
