1、专题7数列命题趋势数列的考查主要分为三种，第一种考的是等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差等比数列中项的性质、判断与证明；第二种数列求和的考查，主要以解答题的形式出现，一般求和方法有：分组求和、错位相减、裂项相消等；第三种是数列与其他知识的综合考查，例如数列与函数、不等式结合来探究数列中的最值和不等式的证明考点清单等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d等差中项：2an=an-1+an+1，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，qN*)等差数列的求和公式：，等比数列的通项公式：an=a1qn-1等比中项：an2=an-1an+1，若m+n=p+q，则aman=ap
2、aq(m，n，p，qN*)等比数列的求和公式：前n项和Sn与第n项an的关系：an=Sn-Snn-1精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）ABCD【答案】B【解析】由S8=4S4，得8a1+28d=44a1+6d，解得，【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S9=54，a11+a12+a13=27，则S16=（）A120B60C160D80【答案】A【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn，S9=54，a11+a12+a13
3、=27，所以S9=9a5=54，3a12=27，所以a5=6，a12=9，所以，故选A【点评】本题的考查点为数列的前n项和公式，以及等差中项，属于基础题3已知等比数列的首项为，前n项和为Sn，若，则公比q=（）A2BCD【答案】D【解析】当公比q=1时，不满足题意；当q1时，所以，解得，故选D【点评】本题主要考查了等比数列前n项和的计算、通项公式，属于基础题4在数列an中，对任意nN*，都有an+1-2an=0，则等于（）ABCD【答案】A【解析】由an+1-2an=0，得，即数列an是以2为公比的等比数列，故选A【点评】本题考查了等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题型5设等差
4、数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，若，则t=（）ABCD【答案】A【解析】由题意可得，则，解得t=5，故选A【点评】本题考查等差数列的前n项和，等差数列的前n项和性质：an是等差数列，Sn是其前n项和，则（1）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m是等差数列，（2）S2n-1=(2n-1)an6已知数列an满足a1=1，则a6的值为（）ABC3D6【答案】A【解析】因为a1=1，所以，故选A【点评】本题主要考查了等差数列定义及基本量的计算，属于基础题二、解答题7已知公比大于0的等比数列an的前n项和为Sn，a2=4，a1+5是和a3的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若，求数列
5、bn的前n项和Tn【答案】（1）；（2）【解析】（1）设数列an的公比为q(q0)，由题意知2a1+5=S2+a3，即，化简得2q2-3q-2=0，因为q0，所以q=2所以（2）由（1）可知所以，由，可得，所以【点评】数列求和的方法技巧（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和8已知数列an是公差为d的等差数列，且a1=2，a2是的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）当d0时，求数列的前n项和Tn【答案】（1）当d=0时，an=2；当d=2时，an=2n
6、；（2）【解析】（1）a2是的等比中项，a1+d2=a1a1+3d，即2+d2=22+3d，整理得d2-2d=0，解得d=0或d=2当d=0时，an=2；当d=2时，an=2+2n-1=2n（2）由（1）知，当d0时，an=2n，【点评】本题主要考查等差数列通项公式和裂项相消法求前n项和，涉及到等比中项，属于中档题9已知等差数列an的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列（1）求数列an通项公式；（2）设bn=an+2n，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）或an=3n-5；（2）【解析】（1）设等差数列an的公差为d，由题意，得，解得或，所以或an=-2+3n-1=3n-5（2）当时
7、，此时；当an=3n-5时，bn=3n-5+2n，此时【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用高频易错题一、填空题1设数列an的前n项和为Sn，若Sn=3-2an，则S5=_【答案】【解析】由题意，数列an满足Sn=3-2an，当n2时，Sn-1=3-2an-1，两式相减可得Sn-Sn-1=2an-1-2an，即an=2an-1-2an，可得，令n=1，可得S1=3-2a1，即a1=3-2a1，可得a1=1，所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，所以，故答案为【点评】本题考查了通项与前n项和公式关系，但要注意在运算an=sn-sn-1时
8、，前提为n22数列an满足，若对任意0，所有的正整数n都有2-k+2an成立，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】记bn=2n-1an，设，当n=1时，；当n2时，当n=1时，b1=-3也满足上式，所以bn=n-4nN*，即显然当n3时，an0，因此an的最大值若存在，必为正值当n5时，因为，当且仅当n=5时取等号，所以an的最大值为故，变形得，而，当且仅当时取等号，所以故答案为【点评】本题主要考查Sn与an的关系应用，不等式恒成立问题的解法应用，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题解题关键是记bn=2n-1an，设，利用通项bn与前n项和Sn的关系，求出通
9、项bn，再利用数列的单调性进而求出数列中的最大值，由基本不等式解出精准预测题一、填空题1各项均为正数的等比数列，若a1a9+2a5a6+a3a9=4，则a6+a5=_【答案】2【解析】由各项均为正数的等比数列得a1a9+2a5a6+a3a9=a52+2a5a6+a62=a5+a62=4，所以a5+a6=2故答案为2【点评】应用等比数列性质解题时的2个关注点：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q，则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度；（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设
10、而不求思想的运用2已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+t，则数列的通项公式an=_【答案】23n【解析】由Sn=3n+1+t得，当n=1时，a1=S1=32+t=9+t，当n=2时，a1+a2=S2=33+t=27+t，9+t+a2=27+t，所以a2=18，当n=3时，a3=S3-S2=34-33=54，因为数列an是等比数列，所以a22=a3a1，即1818=549+t，所以t=-3，a1=6，公比，所以an=a1qn-1=63n-1=23n故答案为an=23n【点评】本题数列前n项和与通项的关系，属于基础题型3已知数列an和bn均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，且满足：nN
11、*，则_【答案】【解析】，故答案为【点评】本题考查了等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理应用4在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=12，则S16=_【答案】144【解析】设等差数列的公差为d，则，解得，故答案为144【点评】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5数列an中，a1=2，am+n=aman，若ak+2+ak+3+ak+11=215-25，则k=_【答案】3【解析】因为a1=2，am+n=aman，所以an+1=ana1，所以，an是等比数列，公比为2所以an=2n因为ak+2+ak+3+ak+11=2k+2+2
12、k+3+2k+11=2k+13-2k+2=215-25，所以k=3，故答案为3【点评】本题主要考查等比数列的定义，前n项和公式的应用，属于基础题二、解答题6等差数列an中，a7=4，a19=2a9（1）求an的通项公式；（2）设，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列an的公差为d，则an=a1+n-1d因为，所以，解得a1=1，所以an的通项公式为（2），所以【点评】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）；（2
13、）【解析】方程x2-5x+6=0的两根为2，3，由题意得a2=2，a4=3设数列an的公差为d，则a4-a2=2d，故，从而得所以an的通项公式为（2）设的前n项和为，由（1）知，则，两式相减得，所以【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程x2-5x+6=0的两根为2，3，由题意得a2=3，a3=2，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题8等比数列的各项均为正数，且，a32=9a2a6（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）a32=9a2a6，即a32=9a42，所以，又因为an0，q0，所以，又因为2a1+3a2=1，所以，所以，所以（2）因为，所以，设数列的前n项和为，则，所以的前n项和为【点评】裂项相消时注意前后的保留项（1）前面保留的项数和后面保留的项数要一致；（2）裂项相消时注意常数的提取，一般情况下分母的差是几，所提常数就是几
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