1、北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题（理工类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 A B C D 【答案】A【KS5U解析】，要使复数为纯虚数，所以有，解得，选A.2.“”是“直线与圆 相交”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【KS5U解析】要使直线与圆 相交
2、，则有圆心到直线的距离。即，所以，所以“”是“直线与圆 相交”的充分不必要条件，选A.3.执行如图所示的程序框图若输入，则输出的值是A B C D 【答案】C【KS5U解析】第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环，此时满足条件输出，选C.4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则此双曲线的方程是 AB CD【答案】B【KS5U解析】由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上。所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，选B.5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人
3、中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A 140种 B 120种 C 35种 D 34种【答案】D【KS5U解析】若选1男3女有种；若选2男2女有种；若选3男1女有种；所以共有种不同的选法。选D.6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A B C D 【答案】C 【KS5U解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是A B C D 【答案】B【KS5U解析】，因为函数的对称轴为，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以
4、有且，即，所以。即，选B.8. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 A B C D【答案】A【KS5U解析】过做底面于O,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .【答案】【KS5U解析】因为是等差数列，所以。是等比数列，所以，因为，所以，所以。10. 如图，是半径为的圆
5、的两条弦，它们相交于的中点.若，则= ， （用表示）. 【答案】； 【KS5U解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，在直角三角形中，所以，由相交弦定理知，即，解得11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 .【答案】或【KS5U解析】先做出不等式对应的区域，阴影部分。因为直线过定点，且不等式表示的区域在直线的下方，所以要使所表示的平面区域是直角三角形，所以有或直线与垂直，所以，综上或。12. 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 【答案】，【KS5U解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为2，所以所求直线方程为，即垂直于极轴的直线的极坐标
6、方程为。13.在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 【答案】【KS5U解析】,由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以，所以，所以，所以。14. 将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 . 【答案】； 【KS5U解析】因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
7、15. （本小题满分13分）已知函数. （）求函数的最小正周期及单调递减区间；（）求函数在上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体中，点在棱上，且A1B1ECBD1C1AD（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：组距频率成绩（分）频率分布直
8、方图0.040x0.0085060807090100y频率分布表组别分组频数频率第1组50，60）80.16第2组60，70）a第3组70，80）200.40第4组80，90）0.08第5组90，1002b合计（）写出的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；（）在（）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望.18. （本小题满分13分）已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围
9、19.（本小题满分14分）已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，的面积为. （）求椭圆的方程；（）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（）对于由正整数排成的行列的任意数表，记其“特征值”为，求
10、证：.北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题答案（理工类） 2013.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案AACBDCBA二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案；或 ； （注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（） 2分 4分所以函数的最小正周期为. 6分由，则.函数单调递减区间是，. 9分 ()由，得. 11分A1B1ECBD1C1AD则当，即时，取得最小值. 13分（16）（本小题满分14分）证明：（）在长方体中，因为面， 所以 2分在矩形中，
11、因为，所以 所以面 4分（）A1B1CBD1C1ADxyEz如图，在长方体 中，以为原点建立空间直角坐标系依题意可知， ，设的长为，则，假设在棱上存在点，使得平面设点，则，易知设平面的一个法向量为，则，即7分令得，所以因为平面，等价于且平面得，所以所以，所以的长为9分（）因为，且点，所以平面、平面与面是同一个平面由（）可知，面，所以是平面的一个法向量 11分由（）可知，平面的一个法向量为因为二面角的余弦值为，所以，解得故的长为 14分（17）（本小题满分13分） 解：（）由题意可知， 4分（）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同
12、学有种情况 6分设事件：随机抽取的2名同学来自同一组，则.所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是 8分（）由（）可知，的可能取值为，则 ，所以，的分布列为12分所以， 13分（18）（本小题满分13分）解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 8分（）因为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当 时，”. 对求导，得.
13、10分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，所以，由得，所以. 11分（）当，即时，在上，所以在单调递减，所以，由得.12分（）当，即时， 在上，在上，所以在单调递减，在单调递增，等价于或，解得，所以，.综上所述，实数的取值范围为. 13分 （19）（本小题满分14分）解：（）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得,所以.因为的面积为，解得.所以椭圆的方程为. 4分（）由得，显然
14、.5分设,则，6分,. 又直线的方程为，由解得，同理得.所以,9分又因为.13分所以,所以以为直径的圆过点. 14分（20）（本小题满分13分）证明：（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或 3分714582369（）当时，数表为此时，数表的“特征值”为 4分13159101426711153481216当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 5分21161116172227121318233891419244510152025当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 6分猜想“特征值”为. 7分 （）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中，要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中. 当这个较大的数，至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时，设（）为该行（或列）中最大的两个数，则， 因为所以，从而 10分当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时，当它们中的一个数与在同行（或列）中，设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个.则有. 综上可得. 13分