1、专题能力训练20坐标系与参数方程(选修44)一、能力突破训练1.(2020全国,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.2.如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程
2、;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.3.在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为3x+y+a=0,曲线C的参数方程为x=3cos,y=1+3sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)若直线=6(R)与直线l的交点为M,与曲线C的交点为A,B,且点M恰好为线段AB的中点,求a.4.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三
3、个公共点,求C1的方程.5.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为sin2-cos =0,点M1,2.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,B两点.(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.二、思维提升训练6.在平面直角坐标系xOy中,已知直线C:x=-22t,y=1+22t(t为参数),圆M:x2+y2-4x=0.以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线C与圆M的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知射线l:=(0)分别与直线C及圆M相交于A,B两点,当0,2时,求SOMBS
4、OMA的最大值.7.已知直线l的参数方程为x=1+2t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是=sin1-sin2.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出点P的坐标.8.在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(0,3),且倾斜角为,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2-4cos-3-1=0.(1)求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于M,N两点,若|PM|-|PN|=2,求直线l的倾斜角的值.专题能力训
5、练20坐标系与参数方程(选修44)一、能力突破训练1.解(1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:x=cos4t,y=sin4t,消去参数t得C1的直角坐标方程为x+y=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由x+y=1,4x-16y+3=0解得x=14,y=14.故C1与C2的公共点的直角坐标为14,14.2.解(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以M1的极坐标方程为=2cos04,M2的极坐标方程为=2sin434,
6、M3的极坐标方程为=-2cos34.(2)设P(,),由题设及(1)知若04,则2cos=3,解得=6;若434,则2sin=3,解得=3或=23;若34,则-2cos=3,解得=56.综上,P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.3.解(1)将x=cos,y=sin代入3x+y+a=0中,得直线l的极坐标方程3cos+sin+a=0.在曲线C的参数方程中,消去,可得x2+(y-1)2=9,即x2+y2-2y-8=0.将x=cos,y=sin代入x2+y2-2y-8=0中,得曲线C的极坐标方程为2-2sin-8=0.(2)在极坐标系中,由已知可设M1,6,A2,6,B3,6,联立=6,
7、2-2sin-8=0,可得2-8=0,所以2+3=1.因为点M恰好为AB的中点,所以1=12,即M12,6.把M12,6代入3cos+sin+a=0,得34+14+a=0,所以a=-1.4.解(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C
8、2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.5.解(1)x=cos,y=sin,由sin2-cos=0,得2sin2=cos.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为
9、34,故直线l的参数方程为x=tcos34,y=1+tsin34(t为参数),即x=-22t,y=1+22t(t为参数).(2)把直线l的参数方程x=-22t,y=1+22t(t为参数)代入曲线C的方程得1+22t2=-22t,即t2+32t+2=0,=(32)2-42=100.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-32,t1t2=2.又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2.二、思维提升训练6.解(1)直线C的普通方程为x+y=1,由普通方程与极坐标方程的互化公式可得C的极坐标方程为(cos+sin)=1,即sin+4=22.圆M的极坐标方程为=4cos.(2)因为OBM与OAM都是以点M为顶点,所以底边OB与OA上的高相同,即SOMBSOMA=|OB|OA|.由(1)知,|OA|=A=1sin+cos,|OB|=B=4cos,所以|OB|OA|=4cos(sin+cos)=2sin2+4cos2=2(1+sin2+cos2)=2+22sin2+4.由02,得42+40恒成立,且t1+t2=2cos,t1t2=-40.所以|PM|-|PN|=|t1+t2|=|2cos|=2.所以cos=22.因为0,所以=4或=34.
