1、2 圆与圆的方程21 圆的标准方程考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握确定圆的几何要素2.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程3.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.重点：掌握圆的标准方程的形式难点：利用待定系数法求圆的标准方程疑点：准确把握方程与曲线间的对应关系.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理一、确定圆的条件1几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于2定圆的条件：圆心和半径定长二、圆的标准方程三、点与圆的位置关系设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d 与 r 的大小关系d
2、rdrdr3，所以点 A 在圆外答案：C4若点 A(a1,3)在圆 C：(xa)2(y1)2m 外，则实数 m 的取值范围是()A(0，)B(，5)C(0,5)D0,5解析：由题意，得(a1a)2(31)2m，即 m5，又易知 m0，0m5，故选 C.答案：C5已知圆 C 的圆心是直线 xy10 与 x 轴的交点，半径是圆心到直线 xy30的距离，则圆 C 的标准方程为_解析：直线 xy10 与 x 轴的交点为 C(1,0)，圆心到直线 xy30 的距离等于半径，即 r|103|2 2，所以圆 C 的标准方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y22探究一 直接法求圆的标准方程典例 1 求满足
3、下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(2，2)，且过点(6,3)(2)过点 A(4，5)，B(6，1)且以线段 AB 为直径(3)圆心在直线 x2 上且与 y 轴交于两点 A(0，4)，B(0，2)解析(1)由两点间距离公式得r 622322 41，所求圆的标准方程为(x2)2(y2)241.(2)圆心即为线段 AB 的中点，为(1，3)又|AB|4625122 29，半径 r 29.所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，3)，半径 r 202322 5，圆的方程为(x2)2(y3)25.1直接法求圆的标准方程，就是根据已知条件求出圆心坐标和半径，然后写
4、出标准方程2求圆的圆心坐标与半径时，常利用以下圆的性质：(1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心；(2)圆心到切线之间的距离等于半径；(3)圆心与切点的连线长等于半径；(4)圆心与切点的连线与切线垂直1求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为(3,4)，半径等于 2；(2)圆心为(1，3)，经过点(3，1)；(3)圆心为(2，5)，且与直线 4x3y30 相切解析：(1)圆的标准方程为(x3)2(y4)22.(2)由两点间距离公式可得圆的半径r 1323122 5，于是圆的标准方程为(x1)2(y3)220.(3)圆 的 半 径 即 为 圆 心(2，5)到 直 线 4x 3y 3 0 的 距
5、 离，由 于 d|42353|1694，于是圆的标准方程为(x2)2(y5)216.探究二 待定系数法求圆的标准方程典例 2 在平面直角坐标系中，求与 x 轴相交于 A(1,0)和 B(5,0)两点且半径为 5的圆的标准方程解析 解法一 设圆的标准方程为(xa)2(yb)25.因为点 A，B 在圆上，所以可得到方程组：1a20b25，5a20b25，解得a3，b1.所以圆的标准方程是(x3)2(y1)25 或(x3)2(y1)25.解法二 由于 A、B 两点在圆上，那么线段 AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识知这个圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线 x3 上，于是可以设圆心为 C(3，b)，
6、由 AC 5得 312b2 5.解得 b1 或 b1.因此，所求圆的标准方程为(x3)2(y1)25 或(x3)2(y1)25.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；(2)根据题意，建立关于 a，b，r 的方程组；(3)解方程组，求出 a，b，r 的值；(4)将 a，b，r 代入所设的圆的方程中，即得所求2.如图所示，ACB 为一弓形，且 A，B，C 的坐标分别为(4,0)，(4,0)，(0,2)，求弓形所在圆的标准方程解析：由题意得圆心在弦 AB 的中垂线上，圆心在 y 轴上，设圆心为 P(0，b)，连接 AP(图略)，|AP|CP|，16
7、b2|2b|，解得 b3，圆心为 P(0，3)，半径 r|CP|5，圆的标准方程为 x2(y3)225.探究三 点与圆位置关系的判定及应用典例 3(1)圆的直径的两个端点为(2,0)，(2，2)，求此圆的方程，并判断 A(5,4)，B(1,0)是在圆上、圆外，还是在圆内；(2)若点 P(2,4)在圆(x1)2(y2)2m 的外部，求实数 m 的取值范围解析(1)由已知得圆心坐标为 C(2，1)，半径 r1.所以圆的方程为(x2)2(y1)21.因为|AC|522412 341，|BC|122012 21，所以 A，B 两点都在圆外(2)由于点 P(2,4)在圆外，所以有(21)2(42)2m，
8、解得 m0，因此实数 m 的取值范围是 0mr2，点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内3已知两点 A(4,9)，B(6,3)，(1)求以 AB 为直径的圆的方程；(2)试判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在(1)中所求圆的圆上，圆内，还是圆外解析：(1)设圆心为 C(a，b)，半径为 r(r0)，由 C 为线段 AB 的中点得 a462 5，b932 6.又由两点间的距离公式得 r|AC|452962 10.所以所求圆的方程为(x5)2(y6)210.(2)分别计算点到圆心 C 的距离：|MC|652962 10；|NC|35
9、2362 13 10；|QC|5523623 10.因此，点 M 在圆上，点 Q 在圆内，点 N 在圆外因考虑不全面致使所求圆的方程漏解典例 已知某圆圆心在 x 轴上，半径为 5，且与 y 轴的一个交点是(0,4)，则圆的标准方程是()A(x3)2y225 B(x3)2y225C(x3)2y225 D(x3)2y25解析 因为圆的圆心在 x 轴上，半径为 5，故可设圆的标准方程为(xa)2y225，又圆与 y 轴的一个交点为(0,4)，所以(0a)24225，解得 a3，故所求圆的标准方程为(x3)2y225.答案 C错因与防范 本题易错选答案 D、A 或 B，错选 D 是圆的标准方程记忆不准
10、确，将方程右边的 r2 记成 r 而出错；错选 A 或 B 是对 a 的值漏解圆的标准方程的特点：等号左边是平方和的形式，右边是半径的平方而非半径，即圆的标准方程中各量都是二次的随堂训练 1圆心是 C(2，3)，且经过原点的圆的方程为()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)2 13D(x2)2(y3)2 13解析：由已知得半径 r 2232 13，又圆心坐标为(2，3)，故圆的方程是(x2)2(y3)213.答案：B2若圆(x3)2(y3)24 关于直线 l：Ax4y60 对称，则直线 l 的斜率是()A32 B.23C23D6解析：圆心坐标为(3，3)，由
11、题意知圆心在直线 Ax4y60 上，A34(3)60，解得 A6，则直线 l 的斜率 kA432，故选 A.答案：A3若点(3，a)在圆 x2y216 的内部，则实数 a 的取值范围是_解析：依题意得 32(a)216，所以 a7，又 a0，因此 a 的取值范围是 0a7.答案：0a0)，则5a21r2，1a29r2，解得a2，r210.所以圆 C 的方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y2105已知一条直线与圆 C 相交于点 P(1,0)和 Q(0,1)(1)求圆心所在直线的方程；(2)若圆 C 的半径为 1，求圆 C 的方程解析：(1)由已知得 PQ 的中点为 M12，12，kPQ1，因此圆心所在直线过点12，12，且斜率为 1，故圆心所在的直线方程为 yx.(2)由条件设圆的方程为(xa)2(yb)21，由圆过 P，Q 点得1a2b21，a21b21，解得a0，b0或a1，b1，所以圆 C 的方程为 x2y21 或(x1)2(y1)21.课时作业