1、不等式 推理与证明第七章第二节一元二次不等式及其解法高考概览1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.吃透教材 夯双基 填一填 记一记 厚积薄发知识梳理1三个二次之间的关系 2.简单分式不等式的解法分式不等式与一元二次不等式的关系xaxb0 等价于(xa)(xb)0，xaxb0 等价于xaxb0，xb0，温馨提示 解不等式的 2 个易错点：(1)解二次不等式时注意二次项系数的正负，如果二次项系数为负，一般转化为系数为正，如：不等式(x1)(2x)0 的
2、解集为提示：由(x1)(2x)0 得(x1)(x2)0，解得 1x2.故填x|1x2x|1x2(2)解分式不等式时注意准确转化，如：不等式x2x10 的解集是提示：由x2x10，得(x1)(x2)0 且 x1，解得1x2.故填x|1x2x|1x2小题速练1下列结论的错误的是()A若不等式 ax2bxc0B若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根是 x1 和 x2C不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0D若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式ax2bxc0 的解集为()解析 不等式 2x2x30 即为
3、(x1)(2x3)0，解得 x32或 x0 的解集为xx32或x1.故选B.答案 B3(2016全国卷)设集合 Ax|x24x30，则 AB()A.3，32B.3，32C.1，32D.32，3解析 由 x24x30，得(x1)(x3)0，所以 1x0，得 x32.所以 Ax|1x32.所以 ABx32x0 的解集为1，13，则ab 的值为()A6 B5 C6 D5解析 因为 ax2bx10 的解集为1，13，所以1，13是一元二次方程 ax2bx10 的两根，所以ba113，1a113.解得a3，b2.故 ab6.选 C.答案 C5若关于 x 的不等式 x2axa0 的解集为 R，则实数 a
4、的取值范围是_解析 因为 x2axa0 的解集为 R，所以(a)24(a)0，解得4a0，Bx|2x4，那么集合(UA)B()Ax|1x4 Bx|2x3Cx|2x3 Dx|1x4(2)(2018安徽桐城中学月考)不等式 4x2x2 的解集是()A(，0(2,4 B0,2)4，)C2,4)D(，24，)(3)解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10 x|x3 或 x1，UAx|1x3，(UA)Bx|1x3x|2x4x|20，则原不等式等价于 4(x2)2，解得 x4；若 x20，则原不等式等价于 4(x2)2，解得 0 x2.所以原不等式的解集是0,2)4，)(3)若 a0，则原不等式等价于x
5、11.若 a0，则原不等式等价于(ax1)(x1)0，即ax1a(x1)0.若 a0 x1.若 a0，则原不等式等价于x1a(x1)1 时，1a1，所以原不等式的解集为x1ax1.当 0a1，所以原不等式的解集为x1x1a.综上所述，当 a0 时，解集为xx1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x1x1 时，解集为x1ax1.答案(1)C(2)B(3)见解析(1)解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解(2)应善于把分式不等式转化为整式不等式(3)对含参的不等式，应合理地对参数进行分类讨论讨论依据是：首先对二次项系数的正、负及零进行分类，当二次项系数为负
6、时转化为二次项系数为正其次根据判别式 判断根的个数当方程有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论，从而确定不等式的解集跟踪演练1不等式(x2x1)(3x22x8)0 的解集是_解析 因为 x2x1 中 140 恒成立，3x22x80，即 3x22x80，解得2x43，所以原不等式的解集是2，43.答案 2，432(2017山西四校联考)不等式3x12x 1 的解集是_解析 3x12x 13x12x 103x12x2x04x32x04x3x2 0(4x3)(x2)0 且 x2034xa2(aR)解 原不等式可化为 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x
7、1a4，x2a3.当 a0 时，不等式的解集为，a4 a3，；当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)；当 a0 时，不等式的解集为，a3 a4，.考点二 三个“二次”的关系基础考点(2017江苏模拟)已知函数 f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)c 的解集为(m，m6)，则实数 c 的值为_思路引导 fx的值域为0，fxmin0 得出a、b的关系 写出fxc的解集 消去m求出c利用“三个二次”之间的关系，将不等式、函数、方程之间相互转化.解析 由题意知 f(x)x2axbxa22ba24.f(x)的值域为0，)，ba24 0，即 ba24，f(x)
8、xa22.又f(x)c，xa22c，即a2 cxa2 c.a2 cm，a2 cm6.得 2 c6，c9.答案 9(1)本题的解法充分体现了三个“二次”的转化：函数的值域和不等式的解集转化为 a，b 满足的条件，而不等式的解集的端点值又是相应二次方程的根三个“二次”的关系体现了数形结合及函数与方程、转化与化归的思想，是高考考查的热点之一(2)注意函数 f(x)的值域为0，)与 f(x)0 的区别跟踪演练 已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是xx12，求不等式 ax2bxc0 的解集解 由条件知2，12是方程 ax2bxc0 的两根，且a0 变为 ax252x1 0.a0，原不等式等价
9、于 2x25x20，即(x2)(2x1)0，解得12x2.不等式的解集为x12x2.考点三 不等式恒成立问题基础考点 已知函数 f(x)mx2mx1.(1)若对于 xR，f(x)0 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)若对于 x1,3，f(x)5m 恒成立，求实数 m 的取值范围思路引导(1)fx0恒成立 fx图象在x轴下方 m0且0 m范围(2)分离参数 求新函数最值 确定参数范围.解(1)当 m0 时，f(x)10 恒成立当 m0 时，则m0，m24m0，即4m0.综上，4m0，故 m 的取值范围是(4,0(2)要使 f(x)5m 在1,3上恒成立，即m(x2x1)60，所以 m6x2x
10、1在 x1,3上恒成立因为函数 y6x2x16x12234在1,3上的最小值为67，所以只需 m67即可所以 m 的取值范围是mm67.拓展探究(1)本例中(2)条件“f(x)5m 恒成立”改为“f(x)5m 无解”，如何求 m 的取值范围？(2)本例中(2)条件“f(x)5m 恒成立”改为“存在 x，使f(x)5m 成立”，如何求 m 的取值范围(3)本例中(1)变为：若 f(x)0 对于 m1,2恒成立，求实数 x的取值范围解(1)若 f(x)5m 无解，即 f(x)5m 恒成立，即 m6x2x1恒成立，又 x1,3，得 m6.即 m 的取值范围为6，)(2)由题知 f(x)5m 有解，即
11、 m6x2x1有解，则 m6x2x1 max，又 x1,3，得 m6.即 m 的取值范围为(，6)(3)设 g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当 m1,2时，图象为一条线段，则g10，g20，即x2x10，2x22x10，解得1 32x00；恒小于 0 即a00二是在某给定区间上恒成立，要充分结合函数图象进行分类讨论，或采用分离参数法af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数在拓展探究(3)中，已知 m 的取值范围，求 x 的取值范围，则以 m为自变量，x 为参数构建关于 m 的函数跟踪演练1(2018湘潭模拟)对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(，2C(2,2)D(2,2解析 当 a20，即 a2 时，40，恒成立；当 a20 时，则a20，4a2216a20，解得2a2，2a2.故选 D.答案 D2若不等式 x2ax40 对一切 x(0,1恒成立，则 a 的取值范围为_解析 由题意，分离参数后得，ax4x.设 f(x)x4x，x(0,1，则只要 af(x)max 即可由于函数 f(x)在区间(0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)5，故 a5.答案 5，)