1、平面解析几何第九章名师专题讲座(五)解析几何的高考解答题型及求解策略专题概述圆锥曲线多以椭圆和抛物线与直线、圆等的位置关系为背景，一般与向量、函数、不等式等知识综合命题，考查轨迹方程的求解、最值与范围问题的求解、定点与定值问题的求证、存在性、探究性问题等综合考查各种数学思想与技能，多以压轴题形式出现，是高考的一个难点.题型一 圆锥曲线中的最值、范围问题题型概览：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值(2017
2、 浙 江 卷)如 图，已 知 抛 物 线 x2 y，点A12，14，B32，94，抛物线上的点 P(x，y)12x32.过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值审题程序 第一步：表示出直线 AP 的斜率，求出取值范围；第二步：写出 AP、BQ 的方程，解出点 Q 的横坐标；第三步：利用弦长公式求出|PA|PQ|；第四步：借助函数知识求最值规范解答(1)设直线 AP 的斜率为 k，kx214x12x12，因为12xb0)，半焦距为 c.椭圆 E 的离心率等于2 23，c2 23 a，b2a2c2a29.以线段 PF1 为直径的
3、圆经过 F2，PF2F1F2.|PF2|b2a.9PF1 PF2 1，9|PF2|29b4a2 1.由 b2a29，9b4a2 1，得a29，b21，椭圆 E 的方程为y29x21.(2)直线 x12与 x 轴垂直，且由已知得直线 l 与直线 x12相交，直线 l 不可能与 x 轴垂直，设直线 l 的方程为 ykxm.由ykxm，9x2y29，得(k29)x22kmx(m29)0.直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M，N，4k2m24(k29)(m29)0，即 m2k290.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x22kmk29.线段 MN 被直线 2x10 平分，2x1x22
4、10，即2kmk29 10.由m2k290，2kmk29 10，得k292k2(k29)0，k294k2 13，解得 k 3或 kb0)过点(0,1)，且离心率为 32.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 l：y12xm 与椭圆 E 交于 A，C 两点，以 AC 为对角线作正方形 ABCD，记直线 l 与 x 轴的交点为 N，问 B，N 两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由审题程序 第一步：待定系数法求出椭圆方程；第二步：弦长公式求|AC|；第三步：求出中点 M，利用勾股定理求出|BN|.规范解答(1)由题意可知，椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆过点(0,1)，则 b
5、1.由椭圆的离心率 eca1b2a2 32，解得 a2，所以椭圆E 的标准方程为x24y21.(2)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段 AC 的中点为 M(x0，y0)由y12xm，x24y21，整理得 x22mx2m220.由(2m)24(2m22)84m20，解得 2m1)的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：(x3)2(y1)23 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且APAQ0，求证：直线 l 过定点，并求该定点的坐标解(1)依题意 A(0,1)，设 F(c,0)，则直线 AF 的方程为xcy11，即
6、xcyc0.因为直线 AF 与圆 M 相切，所以|3cc|1c2 3，得 c 2，所以 a21c23，故椭圆 C 的方程为x23y21.(2)由APAQ 0 知 APAQ，从而直线 AP 与坐标轴不垂直，故可设直线 AP 的方程为 ykx1，直线 AQ 的方程为 y1kx1.联立方程组ykx1，x23y21，整理得(13k2)x26kx0，解得 x0 或 x 6k13k2，故点 P 的坐标为6k13k2，13k213k2，同理，点 Q 的坐标为6kk23，k23k23，直线 l 的斜率为k23k2313k213k26kk23 6k13k2k214k，直线 l 的方程为yk214kx 6kk23
7、 k23k23，即 yk214k x12.直线 l 过定点0，12.题型三 圆锥曲线中的探索性问题题型概览：探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说
8、明理由审题程序 第一步：利用导数的几何意义求切线方程；第二步：假设存在符合题意的点；第三步：判断直线 PM，PN 的斜率之和是否为 0；第四步：确定结果规范解答(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)，或M(2 a，a)，N(2 a，a)又 yx2，故 yx24在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.yx24在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.故所求切线方程为 axya0 和 axya0.(2)存在符合题意的点证明如下：设 P(0，b)为符合题意的
9、点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程，得 x24kx4a0.故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1 y2bx22kx1x2abx1x2x1x2kaba.当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意解题反思 本题考查了直线与抛物线的位置关系切线方程、探究性问题等内容求切线方程问题的切入点可从利用导数求切线的斜率入手，导出切线方程第(2)问的切入点可从角的关系联想直线的斜率，从计算斜率 k1k2 入手答题模板 解决这类问题的答
10、题模板如下：题型专练3(2017兰州市高考诊断)已知椭圆 C：x2a2y2b2(ab0)经过点(2，1)，且离心率为 22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M，N 是椭圆上的点，直线 OM 与 ON(O 为坐标原点)的斜率之积为12.若动点 P 满足OP OM 2ON，试探究是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求 F1，F2的坐标；若不存在，请说明理由解(1)e 22，b2a212，又椭圆 C 经过点(2，1)，2a2 1b21，解得 a24，b22，椭圆 C 的方程为x24y221.(2)设 P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OP OM
11、 2ON 得xx12x2，yy12y2，点 M，N 在椭圆x24y221 上，x212y214，x222y224，故 x22y2(x214x1x24x22)2(y214y1y24y22)(x212y21)4(x222y22)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设 kOM，kON 分别为直线 OM 与 ON 的斜率，由题意知，kOMkONy1y2x1x212，因此 x1x22y1y20，x22y220，故点 P 是椭圆x220y2101 上的点，由椭圆的定义知存在点 F1，F2，满足|PF1|PF2|2 204 5，为定值，又|F1F2|2 20102 10，F1，F2 的坐标分别为(10，0)，(10，0)