1、向量的数乘运算层级(一)“四基”落实练1(多选)下列各式计算正确的是()A(7)6a42aBa2b2(ab)3aCab(ab)0D(ab)3(ab)2a4b解析：选ABD根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(ab)3(ab)ab3a3b2a4b.2点C在直线AB上，且3，则等于 ()A2 B.C D2解析：选D如图，3，所以2.3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，则 ()A2 BC3 D2解析：选B因为D为BC的中点，所以2，所以220，所以，所以.4已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b
2、与a(2m)b共线，则实数m的值为 ()A1或3 B.C1或4 D3或4解析：选A因为向量ma3b与a(2m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m，解得m1或m3.5(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 ()A2a3b4e且a2b2eB存在相异实数，使ab0Cxayb0(其中实数x，y满足xy0)D已知梯形ABCD，其中a，b解析：选AB由2a3b2(a2b)得到b4a，故A可以；ab0，ab，又，故B可以；当xy0时，有xayb0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以故选A、B.6已知a，b是不
3、共线的向量，a2b，a(1)b，且A，B，C三点共线，则实数_.解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使k.因为a2b，a(1)b，所以a2bka(1)b因为a与b不共线，所以解得2或1.答案：1或27已知点C在线段AB上，且，则_，_.解析：因为C在线段AB上，且，所以与方向相同，与方向相反，且，所以，.答案：8化简：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)2(2a8b)4(4a2b)解：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)2(2a8b)4(4a2b)(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.层级(二)能力提升练
4、1.如图，在ABC中，a，b， 3 ， 2，则()Aab B.abC.ab Dab解析：选D由平面向量的三角形法则，可知()ab.故选D.2设a，b是两个不共线的向量若向量ka2b与8akb的方向相反，则k_.解析：因为向量ka2b与8akb的方向相反，所以ka2b(8akb)k4(因为方向相反，所以0k0)答案：43.如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，若 mn (m，nR)，则mn_.解析：由题意得3，则33()33，则m，n，那么mn2.答案：24在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点已知c， d，试用c，d表示和.解：如图，设a，b.M，N分别是DC，
5、BC的中点，b，DMa.在ADM和ABN中，2，得b(2cd)，2，得a(2dc)dc，cd.5.如图所示，在ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且， a，b.(1)用a，b表示， ，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)如图，延长AD到G，使2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)知，共线又，有公共点B，B，E，F三点共线6已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)用e，f表示；(2)求证：四边形ABCD为梯形解：(1)(e2f)(4ef)(5e3f)
6、(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，即在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形层级(三)素养培优练1.如图，在ABC中，延长CB到D，使BDBC，当点E在线段AD上移动时，若，则t的最大值是_解析：设k,0k1，则k(2)k2()2kk.，且与不共线，t3k.又0k1，当k1时，t取最大值3.故t 的最大值是3.答案：32.如图，将45直角三角板和30直角三角板拼在一起，其中45直角三角板的 斜边与30直角三角板的30角所对的直角边重合，若xy，求x，y的值解：如图，先过B作BEDC交DC的延长线于点E，再过点A作AFBE交BE于点F，由ACD45，BCA90，得BCE45，则CEBE，设CEBEmCD，则AF(m1)CD，BF(m1)DA，AB2AD.在RtAFB中，AF2BF2AB2，所以(m1)CD2(m1)DA2(2 DA)2，解得m，故 (1)，故x1，y.