1、选修44坐标系与参数方程第1讲坐标系 考点梳理1极坐标系的概念(1)极坐标系如图，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，)，可以取任意实数(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)
2、(kZ)表示同一个点特别地，极点O的坐标为(0，)(R)和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0，02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则或3直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：co
3、s a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.4圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于M，半径为a：2asin_.考点自测1若曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y22y4x02(2013西安五校一模)在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与c
4、os 1的交点的极坐标为_ 解析2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(1,1)，又02，因此这两条曲线的交点的极坐标为.答案 3(2012上海)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_.解析在直线l上任取一点，再利用正弦定理求直线的极坐标方程在直线l上取点P(，)，在OPM中，由正弦定理得，即，化简得，故f().答案4(2012安徽)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析将4sin 化成直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)24，圆心为(
5、0,2)将(R)化成直角坐标方程为xy0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d.答案5(2012陕西)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_解析直线的方程为2x1，圆的方程为x2y22x0，圆心为(1,0)，半径r1，圆心到直线的距离为d，设所求的弦长为l，则1222，解得l. 答案 考向一极坐标和直角坐标的互化【例1】(2013广州测试)设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为_解析点A的极坐标为，点A的平面直角坐标为(，1)，又直线l过点A且与极轴所成的角为，直线l的方程为y1(x)tan ，即xy20，直线l的极坐标方程为cos sin 20，
6、可整理为cos1或sin1. 答案cos1或sin1 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性【训练1】 (2013佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是_解析由极坐标与直角坐标的互化公式cos x，sin y可得，cos 1, sin ，解得2，2k(kZ)，故点P的极坐标为(kZ)答案(kZ) 考向二圆的极坐标方程的应用【例2】(2013广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与
7、极轴垂直的直线交曲线4cos 于A、B两点，则|AB|_.解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x1，曲线4cos 的直角坐标方程是x2y24x，即(x2)2y24，圆心(2,0)到直线x1的距离等于1，因此|AB|22.答案2 解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程【训练2】 (2013深圳调研)在极坐标系中，P，Q是曲线C：4sin 上任意两点，则线段PQ长度的最大值为_解析由曲线C：4sin ，得24sin ，x2y24y0，x2(y2)24，即曲线C：4sin 在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是
8、圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.答案4 考向三极坐标方程的综合应用【例3】如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹解设M(，)是所求轨迹上任意一点连接OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0.所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆 求轨迹的方法与普通方程的方法相同，但本部分只要求简单的轨迹求法【训练3】 从极点O作直线与另一直线cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|OP|12，求点P的轨迹方程解
9、设动点P的坐标为(，)，则M(0，)|OM|OP|12.012.0.又M在直线cos 4上，cos 4，3cos .这就是点P的轨迹方程 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，则点到直线l的距离为_解析直线l的极坐标方程可化为y3，点化为直角坐标为(，1)，点到直线l的距离为2.答案22(2013汕头调研)在极坐标系中，4sin 是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是_解析将圆的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2y24y0，圆心坐标为(0,2)又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为2.答案23在极坐标
10、系中，过圆6cos 2sin 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为_解析由6cos 2sin 26cos 2sin ，所以圆的直角坐标方程为x2y26x2y0，将其化为标准形式为(x3)2(y)211，故圆心的坐标为(3，)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x3，将其化为极坐标方程为cos 3.答案cos 34(2013华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线cos2上的点的距离的最小值为_解析依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是xy40，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为2.答案25在极坐标系中，圆4上的点到直线(cos sin )8的距离的最大值是
11、_解析把4化为直角坐标方程为x2y216，把(cos sin )8化为直角坐标方程为xy80，圆心(0,0)到直线的距离为d4.直线和圆相切，圆上的点到直线的最大距离是8.答案86在极坐标系中，曲线C1：2cos ，曲线C2：，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB_.解析曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB.答案 7(2013湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：22cos 0，点P的极坐标为过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是_解析圆C的极坐标方程：22cos 0化为普通方程：(x1)2y21，点P的
12、直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(1,0)如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为ykx2，则圆心到切线的距离为1，k，即tan .易知满足题意的另一条切线的方程为x0.又两条切线的夹角为的余角，两条切线夹角的正切值为.答案8若直线3x4ym0与曲线22cos 4sin 40没有公共点，则实数m的取值范围是_解析注意到曲线22cos 4sin 40的直角坐标方程是x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21.要使直线3x4ym0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，2)到直线3x4ym0的距离大于圆的半径即可，即1，|m5|5，解得，m0或m10.答案(，0)(10，)二、解答题(共20分)9(
13、10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系解(1)由题意，直线l的普通方程是y5(x1)tan ，此方程可化为，令a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)如图，设圆上任意一点为Q(，)，则在QOM中，由余弦定理，得QM2QO2OM22QOOMcosQOM，4224224cos.化简得8sin ，即为圆C的极坐标方程(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，直线l的普通方程是xy50，
14、圆心M到直线l的距离d4，所以直线l和圆C相离10(10分)(2012辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程解(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(t)法二将x1代入得cos 1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为. 版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
