1、第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 第八章 平面解析几何考纲解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系(重点)2掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题预测 2021 年高考对本讲内容将考查：直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程试题常以客观题形式考查，难度不大.1 基础知识过关 PART ONE 1.直线的斜率(1)当 90时，tan 表示直线 l 的斜率，用
2、k 表示，即01 _.当 90时，直线 l 的斜率 k 不存在(2)斜率公式给定两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，经过 P1，P2 两点的直线的斜率公式为02 _.ktanky2y1x2x12直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式 斜率 k 与点(x1，y1)01 _ 直线不垂直于 x 轴斜截式斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b02 _直线不垂直于 x 轴两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2)03 _直线不垂直于 x 轴和 y 轴yy1k(xx1)ykxbyy1y2y1 xx1x2x1(x1x2，y1y2)名称已知条件方程适用范围截距式直线在 x 轴、
3、y 轴上的截距分别为 a，b04 _直线不垂直于 x 轴和 y 轴，且不过原点一般式05 _任何情况xayb1(a0，b0)AxByC0(A2B20)1概念辨析(1)直线的斜率为 tan，则其倾斜角为.()(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(3)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)答案2小题热身(1)直线 l 经过原点和点(1，1)，则直线 l 的倾斜角是()A45 B135C135或 2
4、25 D60解析 由已知，得直线 l 的斜率 k10101，所以直线 l 的倾斜角是45.答案解析(2)在平面直角坐标系中，直线 3xy30 的倾斜角是()A.6B.3C.56D.23解析 直线 3xy30 的斜率为 3，所以倾斜角为23.答案解析(3)已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140解析 由题意得直线 l 的点斜式方程为 y534x(2)，整理得3x4y140.答案解析(4)已知直线 l 过点 P(1,3)，且与 x 轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于 6，则直线 l 的方程
5、是()A3xy60 Bx3y100C3xy0 Dx3y80解析 设直线 l 的方程为xayb1(a0，b0)由题意，得1a3b1，12ab6，解得 a2，b6.故直线 l 的方程为x2y61，即 3xy60.故选 A.答案解析2 经典题型冲关 PART TWO 1(2019长春模拟)设直线 y2x 的倾斜角为，则 cos2 的值为()A 55B2 55C35D45题型一 直线的倾斜角与斜率解析 由题意，知 tan2，所以 cos2cos2sin2cos2sin21tan21tan212212235.答案解析2(2019安阳模拟)若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则
6、 a()A1 2或 0 B.2 52或 0C.2 52D.2 52或 0解析 若 A，B，C 三点共线，则有 kABkAC，即a2a21a3a31，整理得 a(a22a1)0，解得 a0 或 a1 2.答案解析3直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_解析 如图，kAP10211，kBP 3001 3，k(，31，)(，31，)解析1.直线的倾斜角与其斜率的关系斜率 kktan0k0ktan0不存在倾斜角 锐角0钝角902.倾斜角变化时斜率的变化规律根据正切函数 ktan 的单调性，如图所示：(1)当 取值在0，2 内
7、，由 0 增大到22 时，k 由0 增大并趋向于正无穷大；(2)当 取值在2，内，由22 增大到()时，k 由负无穷大增大并趋近于 0.如举例说明 3.3.三点共线问题若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决如举例说明 2.1.直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是()A.0，4B.34，C.0，42，D.4，234，解析 直线的斜率 k1a21，1k0，则倾斜角的范围是34，.答案解析2.若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为()A
8、.13B13C32D.23解析 依题意，设点 P(a,1)，Q(7，b)，则有a72，b12，解得a5，b3，从而可知直线 l 的斜率为3175 13.答案解析1.已知三角形的三个顶点 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则 BC 边上的中线所在的直线方程为_解析 BC 的中点坐标为32，12，BC 边上的中线所在的直线方程为y0120 x5325，即 x13y50.x13y50解析题型二 直线方程的求法 2.(1)求过点 A(1,3)，且斜率是直线 y4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点 A(5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程解(1)设所求
9、直线的斜率为 k，依题意 k41343.又直线经过点 A(1,3)，因此所求的直线方程为 y343(x1)，即 4x3y130.解(2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x2aya1，将(5,2)代入所设方程，解得 a12，所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 ykx，则5k2，解得 k25，所以直线方程为 y25x，即 2x5y0.故所求的直线方程为 2x5y0 或 x2y10.解条件探究 将本例(1)中所求的直线绕点 A(1,3)顺时针旋转 45后，求所得直线的方程解 设本例(1)中所求直线的倾斜角为，则由本例(1)知 tan43，所以 900，b0，直线 l 的方
10、程为xayb1，所以2a1b1.|MA|MB|MA MB(a2，1)(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)2a1b52ba 2ab 4，当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30.解3 课时作业 PART THREE 1.过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为()A.1 B4 C1 或 3 D1 或 4A组基础关解析 由题意知4mm21(m2)，解得 m1.答案解析2.(2019郑州一模)已知直线 l 的斜率为 3，在 y 轴上的截距为另一条直线 x2y40 的斜率的倒数，则直线 l 的方程为()A.y 3x2 By 3x2C.y 3x12
11、Dy 3x2解析 直线 x2y40 的斜率为12，直线 l 在 y 轴上的截距为 2，直线 l 的方程为 y 3x2.答案解析3如图中的直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2解析 设 l1，l2，l3 的倾斜角分别为 1，2，3，则由图象知 03221，所以 k10k30，bc0，bc0C.ab0 Dab0，bc0解析 由题意，知 a0，b0，已知直线方程可化为 yabxcb，若此直线同时经过第一、二、四象限，则ab0，即 ab0，bc0.答案解析5.直线 xcos140ysin4010 的倾斜角是()A.
12、40 B50 C130 D140解析 将直线 xcos140ysin4010 化成 xcos40ysin4010，其斜率为 kcos40sin40tan50，倾斜角为 50.故选 B.答案解析6.(2019荆州模拟)两直线xmyna 与xnyma(其中 a 是不为零的常数)的图象可能是()解析 已知两直线的方程可分别化为 l1：xam yan1 与 l2：xanyam1，所以直线 l1 的横截距与直线 l2 的纵截距互为相反数；直线 l1 的纵截距与直线 l2 的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知，B 符合题意.答案解析7.直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是
13、(3,3)，则其斜率的取值范围是()A.1k1 或 k1 或 k12或 k12或 k1.所以 D 正确.答案解析8.若直线 l 过点(m,3)和(3,2)，且在 x 轴上的截距是 1，则实数 m_.解析 由在 x 轴上的截距是 1，得 m3，则直线方程为y232x3m3.当 y0 时，则 x62m31，故 m4.4解析9.若过点 P(1a,1a)与 Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且 m3a24a，则实数 m 的取值范围是_解析 设直线的倾斜角为，斜率为 k，则 ktan2a1a41a a1a3，又 为钝角，所以a1a30，即(a1)(a3)0，故3a1.关于 a 的函数 m3a24a 的
14、图象的对称轴为 a 42323，所以 3232423m3(3)24(3)，所以实数 m 的取值范围是43，39.43，39解析10.已知直线 l 过点(1,0)，且倾斜角为直线 l0：x2y20 的倾斜角的2 倍，则直线 l 的方程为_解析 由题意可设直线 l0，l 的倾斜角分别为，2，因为直线 l0：x2y20 的斜率为12，则 tan12，所以直线 l 的斜率ktan2 2tan1tan2212112243，所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y043(x1)，即 4x3y40.4x3y40解析1.若32 2，则直线 xcos ysin1 必不经过()A.第一象限B第二象限C.第三象限D第
15、四象限B组能力关解析 令 x0，得 ysin0，所以直线过点(0，sin)，(cos，0)两点，因而直线不过第二象限故选 B.答案解析2.已知an是等差数列，a415，S555，则过点 P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A.4 B.14C4 D14解析 an为等差数列，a415，S555，a1a522，2a322，a311，kPQa4a343 4.答案解析3.(2019成都诊断)设 P 为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0，4，则点 P 横坐标的取值范围为()A.1，12B1,0C.0,1 D.12，1解析 由题意知 y2x2，设
16、P(x0，y0)，则 k2x02.因为曲线 C在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0，4，则 0k1，即 02x021，故1x012.故选 A.答案解析4.函数 yasinxbcosx 的一条对称轴为 x4，则直线 l：axbyc0的倾斜角为()A.4B.3C.23D.34解析 由函数 yf(x)asinxbcosx 的一条对称轴为 x4知，f(0)f2，即ba，直线 l 的斜率为1，倾斜角为34.故选 D.答案解析5.设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析 动直线 xmy0(m0)过定点 A(0
17、,0)，动直线 mxym30过定点 B(1,3)由题意易得直线 xmy0 与直线 mxym30 垂直，即 PAPB.所以|PA|PB|PA|2|PB|22|AB|22 123225，即|PA|PB|的最大值为 5.5解析6.已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_.解析 由已知画出简图，如图所示因为 l1：ax2y2a4，所以当 x0 时，y2a，即直线 l1与 y 轴交于点 A(0,2a)因为 l2：2xa2y2a24，所以当 y0 时，xa22，12解析即直线 l2 与 x 轴交于
18、点 C(a22,0)易知 l1 与 l2 均过定点(2,2)，即两直线相交于点 B(2,2)则四边形 AOCB 的面积为 SSAOBSBOC12(2a)212(a22)2a122154 154.所以 Smin154，此时 a12.解析7如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当线段 AB 的中点 C 恰好落在直线 y12x 上时，求直线 AB 的方程解 由题意可得 kOAtan451，kOBtan(18030)33，所以直线 lOA：yx，lOB：y 33 x.设 A(m，m)，B(3n，n)，所以线段 AB 的中点 C 的坐标为m 3n2，mn2，由点 C 在直线 y12x 上，且 A，P，B 三点共线得mn212m 3n2，m0m1n0 3n1，解得 m 3，解所以 A(3，3)因为 P(1,0)，所以 kABkAP3313 32，所以lAB：y3 32(x1)，即直线 AB 的方程为(3 3)x2y3 30.解本课结束
