1、第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 第七章 立体几何考纲解读 掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容预测 2021年将会以以下两种方式进行考查：以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；根据垂直关系的性质进行转化试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型1 基础知识过关 PART ONE 1.直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条 01 _直线都垂直，则该直线与此平面垂直02_03_04_05_l性质定理垂直于同一个平
2、面的两条直线 06 _07_08_ab相交a，babOlalb平行ab2.平面与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的 01 _，则这两个平面垂直02_03_ 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于 04_的直线与另一个平面垂直05_06_07_08_l一条垂线ll交线alla3.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的 01 _所成的 02 _叫做这条直线和这个平面所成的角(2)范围：03 _4.二面角(1)定义：从一条直线出发的 01 _所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作 02_的两条射
3、线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)范围：03 _射影锐角(0，90两个半平面垂直于棱0，1805.必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面1.概念辨析(1)直线 l 与平面 内的无数条直线都垂直，则 l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则
4、其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)答案2.小题热身(1)下列命题中不正确的是()A.如果平面 平面，且直线 l平面，则直线 l平面 B.如果平面 平面，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 不垂直于平面，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面 平面，平面 平面，l，那么 l答案解析 A 错误，如图 1 所示，在长方体中，l，但 l；B 正确，设 l，则 内与 l 平行的直线都与 平行；C 正确，由面面垂直的判定可知；D 正确，如图 2 所示，在平面 内，作 与 交线的
5、垂线 m，在平面 内作 与 的交线的垂线 n，由 得 m，由 得 n，所以 mn.可推出 m，进而推出 ml，所以 l.解析(2)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG平面 EFHBAH平面 EFHC.HF平面 AEFDHG平面 AEF答案解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，AH平面 EFH，B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平
6、面 HAG，又 EF平面 AEF，平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；已证平面 HAG平面 AEF，若证 HG平面 AEF，只需证 HGAG，已证 AHHG，故 HGAG 不成立，所以 HG 与平面 AEF 不垂直，D 不正确故选 B.解析(3)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA11，则 AC1与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为_解析 连接 A1C1，则AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成的角因为ABBC2，所以 A1C1AC2 2，又 AA11，所以 AC13，所以 sinAC1
7、A1AA1AC113.解析13(4)已知 PD 垂直于菱形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析 由于 PD平面 ABCD，故平面 PAD平面 ABCD，平面 PDB平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD，由于 AC平面 PDB，所以平面 PAC平面 PDB，共 4 对.解析42 经典题型冲关 PART TWO 角度 1 直线与平面所成的角1.(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为()A.8 B6 2C8 2D8 3答案题型一 直线与平面的位
8、置关系 解析 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，连接 BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为 AB2，ABBC1tan30，所以 BC12 3，从而求得 CC1 BC21BC22 2，所以该长方体的体积为 V222 28 2.故选 C.解析角度 2 直线与平面垂直的判定和性质2.(2019全国卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，AB3，求四棱锥 EBB1C1C 的体积解(1)证明：由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故
9、B1C1BE.又 BEEC1，B1C1EC1C1，所以 BE平面 EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故 AEAB3，AA12AE6.解析如图，作 EFBB1，垂足为 F，则 EF平面 BB1C1C，且 EFAB3.所以四棱锥 EBB1C1C 的体积V1336318.解析1.求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角如举例说明 1.2.证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面
10、垂直的判定定理，这是主要证明方法如举例说明 2(1)(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理.1.已知一个正四棱柱的体对角线长为 6，且体对角线与底面所成的角的余弦值为 33，则该四棱柱的表面积为_解析 由图可知，BD 6 33 2，DD1 BD21BD2 622，底面边长 AB 2 22 1，所以所求表面积为4AA1AB2AB242121210.解析102如图，S 是 RtABC 所在平面外一点，且 SASBSC，D 为斜边AC 的中点(1)求证：SD平面 ABC；(2)若
11、 ABBC，求证：BD平面 SAC.证明(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE，在 RtABC 中，D，E 分别为 AC，AB 的中点DEBC，DEAB，SASB，SEAB.又 SEDEE，AB平面 SDE.又 SD平面 SDE，ABSD.在SAC 中，SASC，D 为 AC 的中点，SDAC.又 ACABA，SD平面 ABC.证明(2)由于 ABBC，则 BDAC，由(1)可知，SD平面 ABC，又 BD平面 ABC，SDBD，又 SDACD，BD平面 SAC.证明题型二 面面垂直的判定与性质如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1A平面 ABC，ACB90，M 是AB 的
12、中点，ACCBCC12.(1)求证：平面 A1CM平面 ABB1A1；(2)求点 M 到平面 A1CB1 的距离解(1)证明：由 A1A平面 ABC，CM平面 ABC，得 A1ACM.ACCB，M 是 AB 的中点，ABCM.又 A1AABA.CM平面 ABB1A1，又 CM平面 A1CM，平面 A1CM平面 ABB1A1.解(2)设点 M 到平面 A1CB1 的距离为 h，由题意可知 A1CCB1A1B12MC2 2，SA1CB1 34(2 2)22 3，SA1MB112S 四边形 ABB1A11222 22 2.由(1)可知 CM平面 ABB1A1，得 VCA1MB113MCSA1MB1V
13、MA1CB113hSA1CB1.点 M 到平面 A1CB1 的距离 hMCSA1MB1SA1CB12 33.解证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直加以解决如举例说明中(1)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，点 E 在棱 PC 上(异于点 P，C)，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.(1)求证：ABEF；(2)若 AFEF，求证：平面 PAD平面 ABCD.证明(1
14、)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABCD.又 AB平面 PDC，CD平面 PDC，所以 AB平面 PDC，又 AB平面 ABE，平面 ABE平面 PDCEF，所以 ABEF.证明(2)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ABAD.因为 AFEF，(1)中已证 ABEF，所以 ABAF.又 ABAD，由点 E 在棱 PC 上(异于点 C)，所以点 F 异于点 D，所以 AFADA，AF，AD平面 PAD，所以 AB平面 PAD，又 AB平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD.证明题型三 平面图形的翻折问题(2019全国卷)图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组
15、成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；(2)求图 2 中的四边形 ACGD 的面积解(1)证明：由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面由已知得 ABBE，ABBC，故 AB平面 BCGE.又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE.解(2)取 CG 的中点 M，连接 EM，DM.因为 ABDE，AB平面 BCGE，所以 DE平面 BCGE，故
16、 DECG.由已知，四边形 BCGE 是菱形，且EBC60，得 EMCG，故 CG平面 DEM.因此 DMCG.在 RtDEM 中，DE1，EM 3，故 DM2.所以四边形 ACGD 的面积为 4.解平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征解决此类问题的步骤为：(2019合肥二检)如图 1，在平面五边形 ABCDE 中，ABCE，且 AE2，AEC60，CDED 7，cosEDC57.将CDE 沿 CE 折起，使点 D到 P 的位置，且 AP 3，
17、得到如图 2 所示的四棱锥 PABCE.(1)求证：AP平面 ABCE；(2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l，求证：ABl.证明(1)在CDE 中，CDED 7，cosEDC57，由余弦定理得 CE2.连接 AC，如图，AE2，AEC60，AC2.又 AP 3，在PAE 中，PA2AE2PE2，即 APAE.同理，APAC.ACAEA，AC平面 ABCE，AE平面 ABCE，AP平面 ABCE.证明(2)ABCE，且 CE平面 PCE，AB平面 PCE，AB平面 PCE.又平面 PAB平面 PCEl，ABl.证明3 课时作业 PART THREE 1已知平面 平面，l，点 A，
18、Al，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDACA组基础关解析 如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有 D 不一定成立，故选 D.答案解析2(2019武汉模拟)已知两个平面相互垂直，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案解析 由题意，对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不
19、垂直于另一个平面内的任意一条直线，故错误；对于，设平面 平面 m，n，l，平面 平面，当 lm 时，必有 l，而 n，ln，而在平面 内与 l 平行的直线有无数条，这些直线均与 n 垂直，故一个平面内的己知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即正确；对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故错误；对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故正确解析3如图所示，三棱锥 PABC 的底面在平面 内，且 ACPC，平面PAC平面 PBC，点 P，A，B 是定点，则动点 C 的轨迹是()A一条线段B一条直线
20、C一个圆D一个圆，但要去掉两个点答案解析 平面 PAC平面 PBC，而平面 PAC平面 PBCPC.又 AC平面 PAC，且 ACPC，AC平面 PBC，而 BC平面 PBC，ACBC，点 C 在以 AB 为直径的圆上，点 C 的轨迹是一个圆，但是要去掉 A 和 B两点故选 D.解析4.(2020江西南昌摸底)如图，在四面体 ABCD 中，已知 ABAC，BDAC，那么点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在()A直线 AB 上B直线 BC 上C直线 AC 上DABC 内部解析 因为 ABAC，BDAC，ABBDB，所以 AC平面 ABD，又 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 ABD，
21、所以点 D 在平面 ABC 内的射影 H 必在直线 AB 上故选 A.答案解析5如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90，D 是 A1B1 的中点，F 是 BB1 上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为()A.12B1 C.32D2答案解析 设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1DF.由已知可以得 A1B1 2，矩形 ABB1A1中，tanFDB1B1FB1D，tanA1AB1A1B1AA1 22.又FDB1A1AB1，所以B1FB1D 22.故 B1F 22 22 12.故
22、选A.解析6(2019全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线答案解析 如图，取 CD 的中点 F，DF 的中点 G，连接 EF，FN，MG，GB.ECD 是正三角形，EFCD.平面 ECD平面 ABCD，EF平面 ABCD.EFFN.不妨设 AB2，则 FN1，EF 3，EN FN2EF22.EMMD，DGGF，MGEF 且 MG12EF
23、，MG 平面 ABCD，MGBG.MG12EF 32，BG CG2BC23222252，BM MG2BG2 7.BMEN.连接 BD，BE，点 N 是正方形ABCD 的中心，点 N 在 BD 上，且 BNDN，BM，EN 是DBE 的中线，BM，EN 必相交故选 B.解析7(2019湖北省“四地七校”联考)现有编号为、的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图 1、图 2、图 3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是()ABCD答案解析 编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧棱 VC底面 ABC，则侧面 VAC底面 ABC，满足题意；编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧面 PBC
24、底面 ABC，满足题意；编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图)，不存在侧面与底面垂直故答案为 A.解析8(2019北京高考)已知 l，m 是平面 外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析 已知 l，m 是平面 外的两条不同直线，由lm 与m，不能推出l，因为 l 可以与 平行，也可以相交不垂直；由lm 与l 能推出m；由m 与l 可以推出lm.故正确的命题是或.解析若m且l，则lm(或若lm，l，则m)9如图，平面 ABC平面 BDC，BACBDC90，且 ABACa，则 AD_.a解析 作 BC 的
25、中点 E，连接 AE，DE，则在 RtABC 中，ABACa，由勾股定理得 BC2AE 2a，且有 AEBC，又平面 ABC平面 BDC，平面 ABC平面 BDCBC，且直线 AE 在平面 ABC 内，由面面垂直的性质定理得 AE平面 BDC，DE平面 BDC 内，AEDE，又在 RtBCD 中，点 E 是 BC 的中点，DEBC2 22 a，在 RtADE 中，AE 22 a，由勾股定理得 AD AE2DE2a.解析10(2019全国卷)已知ACB90，P 为平面 ABC 外一点，PC2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_2解析 如图，过
26、点 P 作 PO平面 ABC 于点 O，则 PO 为 P 到平面 ABC的距离再过 O 作 OEAC 于点 E，OFBC 于点 F，连接 PC，PE，PF，则 PEAC，PFBC.又 PEPF 3，所以 OEOF，所以 CO 为ACB 的平分线，即ACO45.在 RtPEC 中，PC2，PE 3，所以 CE1，所以 OE1，所以 PO PE2OE2 3212 2.解析B组能力关1如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABC 是正三角形，AC 与 BD 的交点为 M，又 PAAB4，ADCD，CDA120，N是 CD 的中点(1)求证：平面 PMN平面 PAB；(2)求点 M 到平
27、面 PBC 的距离解(1)证明：在正ABC 中，AB BC，在ACD 中，ADCD，易证ADBCDB，所以 M 为 AC 的中点，因为 N 是 CD 的中点，所以 MNAD.因为 PA平面 ABCD，所以 PAAD，因为CDA120，所以DAC30，因为BAC60，所以BAD90，即 BAAD.因为 PAABA，所以 AD平面 PAB，所以 MN平面 PAB.又 MN平面 PMN，所以平面 PMN平面 PAB.解(2)设点 M 到平面 PBC 的距离为 h，在 RtPAB 中，PAAB4，所以 PB4 2，在 RtPAC 中，PAAC4，所以 PC4 2，在PBC 中，PB4 2，PC4 2，
28、BC4，所以 SPBC4 7.由ABC 是正三角形，M 是 AC 的中点，得 BMAC，在 RtBMC 中，MC2，BM2 3，所以 SBMC2 3.由 VMPBCVPBMC，即134 7h132 34，解得 h2 217，所以点 M 到平面 PBC 的距离为2 217.解2(2019湖南长郡中学模拟)如图，在多边形 ABPCD 中(图 1)，四边形ABCD 为长方形，BPC 为正三角形，AB3，BC3 2，现以 BC 为折痕将BPC 折起，使点 P 在平面 ABCD 内的射影恰好在 AD 上(图 2)(1)证明：PD平面 PAB；(2)若点 E 在线段 PB 上，且 PE13PB，当点 Q
29、在线段 AD 上运动时，求三棱锥 QEBC 的体积解(1)证明：过点 P 作 POAD，垂足为 O.由于点 P 在平面 ABCD 内的射影恰好在 AD 上，PO平面 ABCD.POAB.四边形 ABCD 为矩形，ABAD.又 ADPOO，AB平面 PAD，ABPD.又由 AB3，PB3 2，可得 PA3，同理 PD3.又 AD3 2，PA2PD2AD2，PAPD，且 PAABA，PD平面 PAB.解(2)设点 E 到底面 QBC 的距离为 h，则 VQEBCVEQBC13SQBCh.由 PE13PB，可知BEBP23，hPO23h233 22 2.又 SQBC12BCAB123 239 22，
30、VQEBC13SQBCh139 22 23.解3(2019合肥一中模拟)如图，四边形 ABCD 为矩形，点 A，E，B，F共面，且ABE 和ABF 均为等腰直角三角形，且BAEAFB90.(1)若平面 ABCD平面 AEBF，证明：平面 BCF平面 ADF；(2)问在线段 EC 上是否存在一点 G，使得 BG平面 CDF，若存在，求出此时三棱锥 GABE 与三棱锥 GADF 的体积之比解(1)证明：四边形 ABCD 为矩形，BCAB，又平面 ABCD平面 AEBF，BC平面 ABCD，平面 ABCD平面 AEBFAB，BC平面 AEBF，又 AF平面 AEBF，BCAF.AFB90，即 AFB
31、F，又 BC平面 BCF，BF平面 BCF，BCBFB，AF平面 BCF，又 AF平面 ADF，平面 BCF平面 ADF.解(2)BCAD，AD平面 ADF，BC平面 ADF.ABE 和ABF 均为等腰直角三角形，且BAEAFB90，FABABE45，AFBE，又 AF平面 ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面 BCE平面 ADF.延长 EB 到点 H，使得 BHAF，又 BC 綊 AD，连接 CH，HF，易证四边形 ABHF 是平行四边形，解HF 綊 AB 綊 CD，四边形 HFDC 是平行四边形，CHDF.过点 B 作 CH 的平行线，交 EC 于点 G，即 BGCHDF，又 DF平面 CDF，BG平面 CDF，BG平面 CDF，即此点 G 为所求的 G 点又 BE 2AB2AF2BH，EG23EC，又 SABE2SABF，VGABE23VCABE43VCABF43VDABF43VBADF43VGADF，故VGABEVGADF43.解本课结束