1、2.2.2向量的坐标表示与运算 复 习 1、平面向量基本定理的内容是什么？2、什么是平面向量的基底？平面向量的基本定理:向量的基底:不共线的平面向量 e1,e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1,2 使得a=1 e1+2 e21在平面内有点A和点B，怎样表示向量？ABOxy思考1:A B 任一向量a，用这组基底能不能表示?2.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i、j 能否作为平面向量的基底?ijaABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4)
2、,D(5,7).设，填空：,OAi OBj（1）|_,|_,|_;ijOC（2）若用来表示，则：,i j,OC OD_,_.OCOD34ij57ij1153547（3）向量能否由表示出来？CD,i j23CDij探索1:以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？oPxya4321-1-2-3-2246ij），（23P32(3,2)OPijO4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiy jx y向量的坐标表示O向量P（x，y）一 一 对 应OP在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2:Aoxy可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处
3、.解决方案:aaOxyAijaxy+axiy j+OAxiy jABCDoxyija平面向量的坐标表示 如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,i j,i jxy 对于该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数、，可使 ax=i+yj 这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)ax y 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在 y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示。aa1、把 a=x i+y j 称为向量基底形式.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标形式.3、a=x i+y j=(x,y)4、其中 x、y 叫做 a 在
4、X、Y轴上的坐标.单位向量 i=（1，0），j=（0，1）思考:3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?aOA由a 唯一确定2点A的坐标与向量a 的坐标的关系？2121yyxxba且向量a坐标（x，y）一 一 对 应若a以为起点,两者相同Oxyij aA(x,y)aCO例1 A(-1,3),B(1,-3)，C(4,1)，D(3,4)，求向量OA,OB,OD,的坐标。变形:如图分别用基底，表示向量、，并求出它们的坐标。ijabc dAA1A2解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a 同理b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3)
5、;d=2i-3j=(2,-3).思考：已知你能得出的坐标吗？1122(,),(,)ax ybx y,ab aba平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)abxx yyabxx yy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标探究3向量的加法：yxoabx1x2x1+x2y1y2y1+y2ab已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)ab向量的减法：同理可得数乘向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)oyxx1x2y1
6、y2abx1x2y1y2已知a=(x,y)和实数，则a=（x,y）),(),(),(),(),(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：向量的坐标运算法则练习:已知求的坐标。(2,1),(3,4)ab,34ab abab例2.如图，已知求的坐标。1122(,),(,)A x yB xyABxyOBA解：ABOB OA2211(,)(,)x yx y2121(,)xx yy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论！例3.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。A
7、BCDABCDxyO解法：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCx yxyABDC 且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例3.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得(2(1),1 3)(3(1),43)(3,1)BDBABC 而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD 所以顶点D的坐标为（2，2）变形:如图，已知 平行四边形的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求第四个顶点的坐标。xyO(-2,1)(-1,3)(3,4)课堂小结:2 加、减法法则.3 实数与向量积的运算法则：4 向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)1 向量坐标定义.则=(x2-x1,y2 y1)ABa +b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)a -b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)a=(x,y )=(x,y)