1、2020年河北省中考数学试卷一、选择题（本大题有16个小题，共42分110小题各3分，1116小题各2分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A0条B1条C2条D无数条【分析】根据垂直、垂线的定义，可直接得结论【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线的垂线，可作无数条故选：D【点评】本题考查了垂直和垂线的定义掌握垂线的定义是解决本题的关键2（3分）墨迹覆盖了等式“x3xx2（x0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A+BCD【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案【解答】解：x3xx2
2、（x0），覆盖的是：故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键3（3分）对于x3xyx（13y），（x+3）（x1）x2+2x3，从左到右的变形，表述正确的是（）A都是因式分解B都是乘法运算C是因式分解，是乘法运算D是乘法运算，是因式分解【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可【解答】解：x3xyx（13y），从左到右的变形是因式分解；（x+3）（x1）x2+2x3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以是因式分解，是乘法运算故选：C【点评】此题考查了因式分解解题的关键是掌握因式分解的定义：把
3、一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解4（3分）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（）A仅主视图不同B仅俯视图不同C仅左视图不同D主视图、左视图和俯视图都相同【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案【解答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同故选：D【点评】本题考查了简单组合体
4、的三视图，利用三视图的意义是解题关键5（3分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a（）A9B8C7D6【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到a的值，本题得以解决【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，a8，故选：B【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答6（3分）如图1，已知ABC，用尺规作它的角平分线如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：
5、分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC内部交于点P；第三步：画射线BP射线BP即为所求下列正确的是（）Aa，b均无限制Ba0，bDE的长Ca有最小限制，b无限制Da0，bDE的长【分析】根据角平分线的画法判断即可【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，故选：B【点评】本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型7（3分）若ab，则下列分式化简正确的是（）ABCD【分析】根据ab，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题【解答】解：ab，故选项A错误；，故选项B错误；，故选
6、项C错误；，故选项D正确；故选：D【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变熟练掌握分式的基本性质是解题的关键8（3分）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A四边形NPMQB四边形NPMRC四边形NHMQD四边形NHMR【分析】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC，OM2，OD，OB，OA，OR，OQ2，OP2，OH3，ON2，由2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果【解答】解：以点O为位似中心，点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC，O
7、M2，OD，OB，OA，OR，OQ2，OP2，OH3，ON2，2，点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A【点评】本题考查了位似变换、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出点C对应点M是解题的关键9（3分）若81012，则k（）A12B10C8D6【分析】根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到k的值【解答】解：方程两边都乘以k，得（921）（1121）81012k，（9+1）（91）（11+1）（111）81012k，8012081012k，k10经检验k10是原方程的解故选：B【点评】此题考查了平方
8、差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键10（3分）如图，将ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180嘉淇发现，旋转后的CDA与ABC构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“CBAD，”和“四边形”之间作补充，下列正确的是（）A嘉淇推理严谨，不必补充B应补充：且ABCDC应补充：且ABCDD应补充：且OAOC【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可【解答】解：CBAD，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，故选：B【点评】本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题
9、型11（2分）若k为正整数，则（）Ak2kBk2k+1C2kkDk2+k【分析】根据幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘解答即可【解答】解：（kk）k（k2）kk2k，故选：A【点评】本题考查了幂的乘方解题的关键掌握幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘12（2分）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l下列说法错误的是（）A从点P向北偏西45走3km到达lB公路l的走向是南偏西45C公路l的走向是北偏东45D从点P向北走3km后，再向西走3km到达l【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解【解答】解：如图，由题意可得PAB是腰
10、长6km的等腰直角三角形，则AB6km，则PC3km，则从点P向北偏西45走3km到达l，选项A错误；则公路l的走向是南偏西45或北偏东45，选项B，C正确；则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确故选：A【点评】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用13（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1t10）传播的距离用科学记数法表示为a10n千米，则n可能为（）A5B6C5或6D5或6或7【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点
11、移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【解答】解：当t1时，光传播的距离为13000003000003105（千米），则n5； 当t10时，光传播的距离为1030000030000003106（千米），则n6 因为1t10，所以n可能为5或6，故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值14（2分）有一题目：“已知：点O为ABC的外心，BOC130，求A”嘉嘉的解答为：画ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC如图，由BOC2A130，得A65而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，A还应有另一个
12、不同的值”下列判断正确的是（）A淇淇说的对，且A的另一个值是115B淇淇说的不对，A就得65C嘉嘉求的结果不对，A应得50D两人都不对，A应有3个不同值【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案【解答】解：如图所示：A还应有另一个不同的值A与A互补故A18065115故选：A【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键15（2分）如图，现要在抛物线yx（4x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b5，则点P的个数为0；乙：若b4，则点P的个数为1；丙：若b3，则点P的个数为1下列判断正确的是（）A乙错，丙对B甲和乙都错C乙对
13、，丙错D甲错，丙对【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论【解答】解：yx（4x）x2+4x（x2）2+4，抛物线的顶点坐标为（2，4），在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，甲、乙的说法正确；若b3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，丙的说法不正确；故选：C【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键16（2分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成
14、图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A1，4，5B2，3，5C3，4，5D2，2，4【分析】根据题意可知，三块三角形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是，所围成的三角形是面积最大的
15、直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答二、填空题（本大题有3个小题，共12分1718小题各3分；19小题有3个空，每空2分）17（3分）已知：ab，则ab6【分析】直接化简二次根式进而得出a，b的值求出答案【解答】解：原式3ab，故a3，b2，则ab6故答案为：6【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键18（3分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n12【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120，再根据多边形的外角和是360即可解答【
16、解答】解：正六边形的一个内角为：，正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，正n边形一个外角为：120430，n3603012故答案为：12【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键19（6分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为18的整数）函数y（x0）的图象为曲线L（1）若L过点T1，则k16；（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m5；（3）若曲线L使得T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有7个【分析】（1）由题意可求T1T8这些点的坐
17、标，将点T1的坐标代入解析式可求解；（2）将点T4的坐标代入解析式可求k的值，将点T5代入，可求解；（3）由曲线L使得T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解【解答】解：（1）每个台阶的高和宽分别是1和2，T1（16，1），T2（14，2），T3（12，3），T4（10，4），T5（8，5），T6（6，6），T7（4，7），T8（2，8），L过点T1，k16116，故答案为：16；（2）L过点T4，k10440，反比例函数解析式为：y，当x8时，y5，T5在反比例函数图象上，m5，故答案为：5；（3）若曲线L过点T1
18、（16，1），T8（2，8）时，k16，若曲线L过点T2（14，2），T7（4，7）时，k14228，若曲线L过点T3（12，3），T5（8，5）时，k12336，若曲线L过点T4（10，4），T5（8，5）时，k40，曲线L使得T1T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，36k28，整数k35，34，33，32，31，30，29共7个，答案为：7【点评】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键三、解答题（本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20（8分）已知两个有理数：9和5（1）计算：；（2）若再添一个负整数m，且9，5与m这三个数的平均数仍小于m
19、，求m的值【分析】（1）根据有理数的加法、除法法则计算即可；（2）根据题意列不等式，解不等式，由m是负整数即可求出m的值【解答】解：（1）2；（2）根据题意得，m，4+m3m，m3m4，2m4，m2，m是负整数，m1【点评】此题考查了有理数的运算，解不等式熟练掌握有理数的运算法则，解不等式的方法是解本题的关键21（8分）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是25和16，如图如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两
20、区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意得到25+4a2+（1612a），根据整式加减的法则计算，然后配方，根据非负数的性质即可得到结论【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：166a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（1612a）25+4a21612a4a212a+9；（2a3）20，这个和不能为负数【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，整式的加减，正确的理解题意是解题的关键22（9分）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OCOD以点O为圆心，分别以OA，
21、OC为半径在CD上方作两个半圆点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP（1）求证：AOEPOC；写出l，2和C三者间的数量关系，并说明理由（2）若OC2OA2，当C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留）【分析】（1）利用公共角相等，根据SAS证明三角形全等便可；由全等三角形得CE，再利用三角形外角性质得结论；（2）当CP与小半圆O相切时，C最大，求出DOE便可根据扇形的面积公式求得结果【解答】解：（1）在AOE和POC中，AOEPOC（SAS）；AOEPOC，EC，1+E2，1+C2；（2）当C最大时，CP与小半圆
22、相切，如图，OC2OA2，OC2OP，CP与小半圆相切，OPC90，OCP30，DOEOPC+OCP120，【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，扇形的面积计算，关键在于掌握各个定理，灵活运用这些性质解题23（9分）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x3时，W3（1）求W与x的函数关系式（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）设薄板的厚度为x（厘米），QW厚W薄求
23、Q与x的函数关系式；x为何值时，Q是W薄的3倍？注：（1）及（2）中的不必写x的取值范围【分析】（1）由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设Wkx2（k0）将x3时，W3代入，求出k，即可得出W与x的函数关系式；（2）设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6x）厘米，将（1）中所求的解析式代入QW厚W薄，化简即可得到Q与x的函数关系式；根据Q是W薄的3倍，列出方程4x+123x2，求解即可【解答】解：（1）设Wkx2（k0）当x3时，W3，39k，解得k，W与x的函数关系式为Wx2；（2）设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6x）厘米，QW厚W薄（6x）2x24x+12，即Q
24、与x的函数关系式为Q4x+12；Q是W薄的3倍，4x+123x2，整理得，x2+4x120，解得，x12，x26（不合题意舍去），故x为2时，Q是W薄的3倍【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，求出W与x的函数关系式是解题的关键24（10分）表格中的两组对应值满足一次函数ykx+b，现画出了它的图象为直线l，如图而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l x10y21（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l（不要求列表计算），并求直线l被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线ya与直线l，l及y轴有三个不
25、同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l被直线l和y轴所截线段的长；（3）求得两条直线与直线ya的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可【解答】解：（1）直线l：ykx+b中，当x1时，y2；当x0时，y1，解得，直线l的解析式为y3x+1；直线l的解析式为yx+3；（2）如图，解得，两直线的交点为（1，4），直线l：yx+3与y轴的交点为（0，3），直线l被直线l和y轴所截线段的长为：；（3）把ya代入y3x+1得，a3x+1，解得x；把ya代入yx+3得，ax+3，解得xa3；当a3+
26、0时，a，当（a3+0）时，a7，当（+0）a3时，a，直线ya与直线l，l及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键25（10分）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3和5的位置上，沿数轴做移动游戏每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位（1
27、）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值【分析】（1）利用概率公式计算即可（2）利用两点之间的距离公式计算即可（3）不妨设甲连续k次正确移动后两人相距2个单位，则有|8+2k4k|2，解得k3或5如果k次中，有1次两人都对都错，则有|6+2（k1）4（k1）|2，解得k3或5，如果k次中，有2次两人都对都错，
28、则有|4+2（k2）4（k2）|2，解得k3或5，探究规律，可得结论【解答】解：（1）经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，必须甲对乙错，因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，P甲对乙错（2）由题意m54n+2（10n）256nn4时，离原点最近（3）不妨设甲连续k次正确移动后两人相距2个单位，则有|8+2k4k|2，解得k3或5如果k次中，有1次两人都对都错，则有|6+2（k1）4（k1）|2，解得k3或5，如果k次中，有2次两人都对都错，则有|4+2（k2）4（k2）|2，解得k3或5，综上所述，满足条件的k的值为3或5【点评】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题
29、的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型26（12分）如图1和图2，在ABC中，ABAC，BC8，tanC点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AMCN2点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0x3及3x9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ扫描APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N
30、共用时36秒若AK，请直接写出点K被扫描到的总时长【分析】（1）如图1中，过点A作AHBC于H解直角三角形求出AH即可（2）利用相似三角形的性质求解即可（3）分两种情形：当0x3时，当3x9时，分别画出图形求解即可（4）求出CK的长度，以及CQ的最大值，利用路程与速度的关系求解即可【解答】解：（1）如图1中，过点A作AHBC于HABAC，AHBC，BHCH4，BC，tanBtanC，AH3，ABAC5当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3（2）如图1中，APQB，PQBC，APQABC，PQ将ABC的面积分成上下4：5，（）2，AP，PMAPAM2（3）当0x3时，如图11中，过点P作PJC
31、A交CA的延长线于JPQBC，AQPC，PQ（x+2），sinAQPsinC，PJPQsinAQP（x+2）当3x9时，如图2中，过点P作PJAC于J同法可得PJPCsinC（11x）（4）由题意点P的运动速度单位长度/秒当3x9时，设CQyAPCB+BAPAPQ+CPQ，APQB，BAPCPQ，BC，ABPPCQ，y（x7）2+，0，x7时，y有最大值，最大值，AK，CK5当y时，（x7）2+，解得x7，点K被扫描到的总时长（+63）23秒方法二：点P在AB上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点K；在BN阶段，当x在35.5（即71.5）的过程，是能扫到K点的，在5.58.5（即7+1.5）的过程是扫不到点K的，但在8.59（即点M到N全部的路程）能扫到点K所以扫到的时间是（98.5）+（5.53）+23（秒）【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决CQ的最值问题，属于中考压轴题