1、四川省乐山市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（ ）A. ，B.
2、 ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“，”为全称命题故其否定为：，故选：【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题2.下列命题中正确的是（ ）A. 若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B. 垂直于同一平面的两个平面平行C. 存在两条异面直线同时平行于同一平面D. 三点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据空间中的平行与垂直关系，对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A，如果一个平面内有无数条直线有另一个平面平行，则这两个平面也可能相交，故A错误；对于B，垂直于同一平面的两
3、平面平行或相交，故B错误；对于C，当两条直线同时平行于同一平面时，这两条直线可以平行、异面、相交，故存在两条异面直线平行于同一个平面，故C正确；对于D，不共线的三点才能确定一个平面，故D错误；故选：C【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，考查逻辑思维能力和推理判断能力，属于基础题3.“且”是“表示圆的方程”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解【详解】由方程表示圆时，满足且，所以“且”是“表示圆的方程”的必要不充分条件故选B【点
4、睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题4.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，的关系式，代入各选项的数据可得结果【详解】解：设平面内一点，则：， 是平面的法向量，由得把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合故选：【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念5.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍【答案】A
5、【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上，求得点的坐标，进而计算，即可求得结果.【详解】椭圆左焦点是，右焦点是，为，为，设的坐标为，线段的中点为，因为段的中点在轴上，所以，任取一个为，即是的7倍.故选：A.【点睛】本题重点考查椭圆的几何性质，考查距离公式的运用，椭圆定义的应用，属于中档题.6.如图，球内切于圆柱，记圆柱的侧面积为，球的表面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，高为，由此求出球的表面积与圆柱的侧面积得答案.【详解】设球的半径为，可得圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积，圆柱的侧面积，故选：
6、D【点睛】本题主要考查了圆柱及其内切球的表面积的运算，属于基础题.7.已知是双曲线：的左焦点，、为右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，且点在线段上，则的周长为（ ）A. 22B. 28C. 38D. 44【答案】D【解析】【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义到两定点的距离之差为定值解决求出周长即可.【详解】双曲线的左焦点，点是双曲线的右焦点，则，即虚轴长为，双曲线图象如图：，而，+得：，周长为，故选：D.【点睛】本题考查三角形周长的计算，根据双曲线的定义将三角形的两边之差转化为，通过对定义的考查求出周长是解决本题的关键，考查学生的转化能能力.8.某几何体的三视图如图所示，则该几
7、何体的体积为（ ）A. 6B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，把原几何体分割为一个长方体与一个三棱柱求，根据柱体的体积公式即可得结论.【详解】由三视图可得，该几何体分为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个长方体，根据柱体体积公式可得该几何体的体积为：，故选：A.【点睛】本题考查几何体的三视图的有关知识，考查计算能力，能够准确判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.9.若双曲线的右支上一点到直线的距离为，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 2或【答案】B【解析】【分析】点在双曲线上，则有，即，根据点到直线的距离公式能够求出的值，由此能够得到的值.【详解】
8、点在双曲线上，则有，即，又点在右支上，则有，故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题.10.在中，是的中点，平面，如果、与平面成的角分别是30和60，那么与平面所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 75【答案】B【解析】【分析】设，由已知求出，从而得到，由此能求出与平面所成角的大小.【详解】设，在中，是的中点，平面，、与平面成的角分别是和，是与平面所成角，与平面所成角的大小为，故选：B.【点睛】本题主要考查线面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.11.如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于
9、点、，交其准线于点，若，且，则的值为（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得.【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，则由已知得：，由定义得：，故，在直角三角形中，从而得，求得，故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于中档题.12.如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大
10、值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先以，三直线为，轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，从而可求出向量的坐标，由得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出的最大值【详解】解：根据已知条件，三直线两两垂直，分别以这三直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：， ， ；在线段上，设， ；设，；函数是一次函数，且为减函数，；在恒成立，；在上单调递减；时，取到最大值故选：【点睛】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调
11、性的关系第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上題目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.抛物线x2=8y的准线方程为 【答案】y=2【解析】试题分析：由于抛物线x2=2py的准线方程为y=，则抛物线x2=8y的准线方程即可得到解：由于抛物线x2=2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=8y的准线方程为y=2故答案为y=214.的两个顶点为，顶点C在曲线上运动，则的重心G的轨迹方程为_.【答案】【
12、解析】【分析】可设重心坐标为，顶点的坐标为，根据已知条件将、用，表示，再代入曲线的方程，求轨迹方程【详解】解：设点坐标为，重心坐标为，依题意有，解得，因点，在上移动，所以，整理得为所求重心轨迹方程故答案为：【点睛】本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意三角形重心性质的灵活运用15.如图，在正三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则直线与平面所成的角为_.【答案】30【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面所的一个法向量 的夹角，求出则与平面所成的角【详解】解：以为坐标原点，以与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，1，0，2，2，0
13、，设平面所的一个法向量为，则即，取，则得，0，与平面所成的角的正弦值为，与平面所成的角为故答案为：（）【点睛】本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系16.如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，P是双曲线右支上的一点，直线与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则该双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】由，的内切圆在边上的切点为，根据切线长定理，可得，结合，即可得出结论【详解】解：由题意，的内切圆在边上的切点为，根据切线长定理可得，即，双曲线的离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切
14、线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.如图，正方体中，对角线和平面交于点，、交于点，求证：、三点共线.【答案】证明见解析【解析】【分析】欲证、三点共线，只须证它们都在平面与平面的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明、三点是平面与平面的公共点即可.【详解】连接，则面，面，又面，则面，面，即、均在面内，又在面内则、必定在面与面的公共交线上，即、三点共线.【点睛】本题主要考查三点共线的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题.18.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物
15、线的方程.【答案】或.【解析】【详解】试题分析：本题考查抛物线的标准方程以及抛物线与直线相交的弦长问题，考查基本的计算能力.先设出抛物线方程，由抛物线与直线相交列出方程组，消参得关于x的方程，得到两根之和、两根之积，将弦长进行转化，把两根之和、两根之积代入，解方程求出参数P，从而得抛物线方程.试题解析：设抛物线的方程为，则得，则或6，或.考点：1.抛物线的标准方程；2.弦长公式；3.两根之和、两根之积.19.已知点，圆（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.【答案】（1），
16、切线方程：或，切线方程：；（2）或【解析】【分析】（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.【详解】（1）过点只能作一条圆的切线 在圆上，解得：当时，则切线方程为：，即当时，则切线方程为：，即（2）设直线方程为： 直线方程：圆圆心到直线距离，解得：或【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：1.过圆上一点的切线方程为：；2.直线被圆截得的弦长等
17、于.20.如图，已知四棱锥，底面是菱形，平面，是边的中点，是边上的中点，连接、.（1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过底面是菱形，可以得到，由平面可得，由线面垂直判定可得平面，进而可得结果；（2）如图，取的中点为，连接，通过，来证明平面平面，进而可得结论.【详解】（1）证明：是菱形，为等边三角形，.又平面，平面，由，平面，而平面，.（2）如图，取的中点为，连接，则分别，的中位线，则，由线面平行判定定理可得：，又，则平面平面，而平面，故平面.【点睛】本题主要考查了通过线面垂直得到线线垂直，通过构造面面平行来得到线面平行，属于中档题.2
18、1.已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于 两点，且（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于 两点是否存在点使得以 为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）点不存在.【解析】分析：（1）根据椭圆的几何性质知，即，再由离心率得，从而可得，得椭圆方程；（2）假设点P存在，并设，写出PA的方程，求出M点坐标，同理得N点坐标，求出MN的中点坐标，即圆心坐标，利用圆过点D得一关于的等式，把P点坐标代入椭圆方程后也刚才的等式联立解得，注意的范围，即可知存在不存在详解：（1）由已知，得知，又因为离心率为，所以. 因为，所以, 所以椭圆的标准
19、方程为. （2）假设存在.设由已知可得，所以的直线方程为， 的直线方程为，令，分别可得， 所以， 线段的中点， 若以为直径的圆经过点D（2,0），则, 因为点在椭圆上，所以，代入化简得， 所以， 而，矛盾，所以这样的点不存在.点睛：解析几何中存在性命题常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则不存在22.如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说
20、明理由【答案】（1）详见解析（2）（3）不存在【解析】【分析】（1）根据平行四边形求得，再利用线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用夹角公式求得余弦值；（3）求得平面的法向量，证明得出平面与平面不可能垂直，得出不存在点G.【详解】解：（1）因为，且，所以四边形为平行四边形，所以因为，所以平面（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面 平面，所以，所以如图建立空间直角坐标系由题意得，所以，设平面的法向量为 则 即令，则，所以平面的一个法向量为 则 所以二面角的余弦值（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下：解法一：设平面的法向量为，则 即令，则，所以因为 ，所以平面与平面不可能垂直，从而线段上不存点，使得平面解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：假设线段上存点，使得平面，设，其中设，则有，所以，从而，所以因为平面，所以所以有，因为上述方程组无解，所以假设不成立所以线段上不存在点，使得平面【点睛】本题目主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量求二面角和线面垂直的方法，解题的关键是在于平面的法向量的求法，运算量较大，属于中档题.