1、2021-2022学年江苏省南京市中华中学高三（上）暑期学情调研数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合A1，3，5，7，Bx|2x5，则AB（）A1，3B3，5C5，7D1，72设，则|z|（）A0B1CD33已知向量（3，1），（m，m+2），（m，3），若，则（）A12B6C6D34南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体
2、积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则“S1、S2不总相等”是“V1，V2不相等”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5若sin（+）且（，），则cos的值为（）ABCD6若函数f（x）x33bx+2在区间（2，3）内单调递增，则实数b的取值范围是（）Ab4Bb4Cb4Db47若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2BCD8已知奇函数yf（x）（xR）满足：对一切xR，f（1+x）f（1x）且x0，1时，f（x）ex1，则f（2020）（）A1
3、B1eC0De1二、多项选择题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9已知a0，b0且a1，b1，若logab1，则下列不等式可能正确的是（）A（b1）（ba）0B（a1）（ab）0C（a1）（b1）0D（a1）（ba）010函数f（x）的图象可能是（）ABCD11声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数yAsint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A2是f（x）的一个周期Bf（x）在0，2上有3个零点Cf（x
4、）的最大值为Df（x）在上是增函数12关于函数f（x）+lnx，下列判断正确的是（）Ax2是f（x）的极大值点B函数yf（x）x有且只有1个零点C存在正实数k，使得f（x）kx成立D对两个不相等的正实数x1，x2，若f（x1）f（x2），则f（x1+x2）+ln4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13命题“x01，x02+x02”，命题的否定是 14已知（kx1）5a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5244，则实数k的值为 15九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题书中有一道“两鼠穿墙题”，原
5、文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第 天相逢？（天数取整数）16已知函数f（x）2lnx1，g（x）a|xm|，若存在实数a0使yf（x）g（x）在（，e）上有2个零点，则m的取值范围为 四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C的对边分
6、别为a，b，cc1，ABC的面积S在下面两个条件中选择一个条件，求ABC的周长条件：b2；条件：C18正项等差数列an中，已知a1+a2+a315，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Tn19在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（单位：天）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12（12，14人数85205310250130155（）该传染病的潜
7、伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：P（K2k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635，其
8、中na+b+c+d20如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD，PAD为等边三角形（1）求证：PBAD；（2）求二面角DPAC的正弦值21已知函数f（x）axlnxx2ax（1）讨论函数f（x）的导函数f（x）的单调性；（2）若对x1，x2（1，e），都有3，求a的取值范围；（3）若方程f（x）a有两个不同的解，求a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+1（ab0）经过点P（1，），焦距为4经过椭圆E的左焦点F的直线l与椭圆E相交于A、B两点（1）求椭圆E的方程；（2）当直线l经过椭圆E的上顶点时，求AOB的面积；（3）若经过点F
9、作l的垂线，并与直线x3相交于点P当APB最大时，求直线l的方程参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设集合A1，3，5，7，Bx|2x5，则AB（）A1，3B3，5C5，7D1，7解：集合A1，3，5，7，Bx|2x5，则AB3，5故选：B2设，则|z|（）A0B1CD3解：，|z|1故选：B3已知向量（3，1），（m，m+2），（m，3），若，则（）A12B6C6D3解：由，得3m+6m0，解得m3，所以，则故选：C4南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于
10、这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，则“S1、S2不总相等”是“V1，V2不相等”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1、S2，由祖暅原理得：“S1、S2不总相等”推导不出“V1，V2不相等”，“V1，V2不相等”“S1、S2不总相等”，则“S1、S2不总相等”是
11、“V1，V2不相等”的必要而不充分条件故选：B5若sin（+）且（，），则cos的值为（）ABCD解：sin（+） 且（，），cos（+），则coscos（+ ）cos（+） cos+sin（+） sin+，故选：D6若函数f（x）x33bx+2在区间（2，3）内单调递增，则实数b的取值范围是（）Ab4Bb4Cb4Db4解：f（x）x33bx+2，则f（x）3x23b，因为函数f（x）在区间（2，3）内单调递增，所以导函数f（x）在区间（2，3）内大于等于0恒成立，即x（2，3），x2b0恒成立，又x（2，3）时，x2（4，9），所以b4故选：A7若双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（
12、x2）2+y24所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A2BCD解：双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay0，圆（x2）2+y24的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x2）2+y24所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得e24，即e2故选：A8已知奇函数yf（x）（xR）满足：对一切xR，f（1+x）f（1x）且x0，1时，f（x）ex1，则f（2020）（）A1B1eC0De1解：根据题意，对任意tR都有f（1+x）f（1x），则函数yf（x）的图象关于直线x1对称，又由函数yf（x）为奇函数，则函数yf（x）的图象关于
13、原点对称，则有f（x+2）f1+（x+1）f1（x+1）f（x），故f（x+4）f（x+2）+2f（x+2）f（x），即函数yf（x）为周期为4的周期函数，则f（2020）f（0），又由x0，1时，f（x）ex1，则f（2020）f（0）e01，故选：C二、多项选择题：本题欧共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9已知a0，b0且a1，b1，若logab1，则下列不等式可能正确的是（）A（b1）（ba）0B（a1）（ab）0C（a1）（b1）0D（a1）（ba）0解：由logab1logab10，即log
14、ablogaa0，logaloga1，当a1时，则有1，即ba1，此时b10，ba0，a10，ab0，则（b1）（ba）0，（a1）（ab）0，（a1）（b1）0，（a1）（ba）0，当1a0时，则有1，即1ab0此时b10，ba0，a10，ab0则（b1）（ba）0，（a1）（ab）0，（a1）（b1）0，（a1）（ba）0故选：AD10函数f（x）的图象可能是（）ABCD解：当a0时，f（x），则选项C符合；当a0，f（0）0，故排除D；当x0时，f（x），当且仅当x时取等号，则函数f（x）在（，）上为减函数，在（，+）为增函数，故选项B符合；当a0时，函数的定义域为x|x，当x0，f（x
15、），由于yx+在（0，），（，+）为增函数，则f（x）在（0，），（，+）为减函数，故A符合，故选：ABC11声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数yAsint，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A2是f（x）的一个周期Bf（x）在0，2上有3个零点Cf（x）的最大值为Df（x）在上是增函数解：ysinx的周期为2，y的周期为，的周期为2，故A正确；由0，得sinx+sinxcosx0，得sinx0或cosx1，x0，2，x0，x，x2，则f（x）在0，2上有3个零点，故B正确；函数的最大值在0，上取得，由
16、f（x）cosx+cos2x2cos2x+cosx10，可得cosx，当x（0，）时，cosx单调递减，原函数单调递增，当x（，）时，cosx单调递减，原函数单调递减，则当x时，原函数求得最大值为sin+，故C正确；f（）sin+1，f（）sin1，f（x）在上不是增函数，故D错误故选：ABC12关于函数f（x）+lnx，下列判断正确的是（）Ax2是f（x）的极大值点B函数yf（x）x有且只有1个零点C存在正实数k，使得f（x）kx成立D对两个不相等的正实数x1，x2，若f（x1）f（x2），则f（x1+x2）+ln4解：对于A：函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）+，所以在（0，2）
17、上，f（x）0，f（x）单调性递减，在（2，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，所以x2是f（x）的极小值点，即A不正确；对于B：yf（x）x+lnxx，所以y+10，函数y在（0，+）上单调递减，且f（1）12+ln1110，f（2）21+ln22ln210，所以函数yf（x）x有且仅有1个零点，故B正确；对于C：若f（x）kx，可得k+，令g（x）+，则g（x），令h（x）4+xxlnx，则h（x）lnx，所以在x（0，1）上，函数h（x）单调递增，在（1，+）上，函数h（x）单调递减，所以h（x）h（1）0，所以g（x）0，所以g（x）+在（0，+）上单调递减，函数无最小值，所以不存在
18、正实数k，使得f（x）kx恒成立，即C不正确；对于D：令t（0，2），则2t（0，2），2+t2，令g（t）f（2+t）f（2t）+ln（2+t）ln（2t）+ln，则g（t）+0，所以g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）g（0）0，令x12t，由f（x1）f（x2），得x22+t，则x1x22t+2+t4，当x24时，x1+x24成立，对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）f（x2），则x1+x24，所以f（x1+x2）f（4）ln4，故D正确故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13命题“x01，x02+x02”，命题的否定是 x1，x2+x2解：因
19、为含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题“x01，x02+x02”的否定为：x1，x2+x214已知（kx1）5a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，且a1+a2+a3+a4+a5244，则实数k的值为4解：（kx1）5a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x0，可得 a01再令x1，可得1+a1+a2+a3+a4+a5（k1）51+244，（k1）5243，k13，则实数k4，故答案为：415九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大
20、鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第5天相逢？（天数取整数）解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足+18，即2n1+218，即2n18，则f（n）2n在n1上是增函数，f（4）241618，f（5）253218，相遇时是第5天，故答案为：516已知函数f（x）2lnx1，g（x）a|xm|，若存
21、在实数a0使yf（x）g（x）在（，e）上有2个零点，则m的取值范围为 （）解：令f（x）2lnx10得x，且在（，e）上递增对于g（x）a|xm|，函数图象关于xm对称，且开口向上当me时，显然只有一个交点，不符题意（图）当时，总能找到a，使得两函数有两个交点（图）；当m时，yg（x）的图象的右半部分至多与yf（x）在x轴上方的图象产生两个交点此时只需研究g（x）a（xm）与yf（x）的图象即可事实上，此时过点（m，0）做yf（x）的切线，只要是切点落在（）内即可（图）设切点为（x0，2lnx01），且k，所以切线方程为：，将（m，0）代入整理得：，令，易知时，m0，故在递减，即综上可知，当
22、时，存在实数a0使yf（x）g（x）在（，e）上有2个零点故答案为：（）四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，cc1，ABC的面积S在下面两个条件中选择一个条件，求ABC的周长条件：b2；条件：C解：选择条件，因为S，b2，c1，所以2sinA，所以sinA，所以cos2A1sin2A，所以cosA，当cosA时，由余弦定理得，a，当cosA时，同理可得a，所以ABC的周长为+3或+3选择条件，因为S，所以absinA，所以ab2，由余弦定理得，a2+b2ab1，所以（a+b
23、）23ab1，所以a+b，所以ABC的周长为+118正项等差数列an中，已知a1+a2+a315，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列anbn的前n项和Tn解：（）正项等差数列an中，a1+a2+a315，a25，d0，a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列bn的前三项，bn的前3项分别为7d，10，18+d，依题意，有（7d）（18+d）100，解得d2或d13（舍），bn的首项b15，公比q2，an2n+1（）anbn5（2n+1）2n1，Tn5320+52+722+（2n+1）2n1，2Tn532+522+723+（2n+
24、1）2n，得Tn53+22+23+24+2n（2n+1）2n53+（2n+1）2n52n+11（2n+1）2n，Tn5+5（2n1）2n19在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如表表格：潜伏期（单位：天）0，2（2，4（4，6（6，8（8，10（10，12（12，14人数85205310250130155（）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到
25、如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为X，则X的期望是多少？附：P（K2k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635，其中na+b+c+d解：（）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下55
26、45100总计12080200则，经查表，得K22.0833.841，所以，没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X服从二项分布：XB（20，），P（Xk），k0，1，2，20，则，所以，X的期望为E（X）820如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD，PAD为等边三角形（1）求证：PBAD；（2）求二面角DPAC的正弦值【解答】（1）证明：取AD的中点O，连结OP，OB，因为PAD为等边三角形，所以POAD，因为四边形ABCD是边长为2
27、的菱形，且BAD，所以BAD为等边三角形，所以BOAD，又OPOBB，所以AD平面POB，又因为PB平面POB，所以ADPB（2）解：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD，OP平面PAD，所以OP平面ABCD，因为OB平面ABCD，所以OPOB，又由（1）知OA、OB、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），C（2，0），B（0，0），（1，0，），（3，0），设（x，y，z）为平面PAC的法向量，则，令z1，（，3，1），平面PAD所法向量为（0，1，0），设二面角DPAC的平面角为，所以|cos|，sin所以二面角DPAC的正弦值为21已知
28、函数f（x）axlnxx2ax（1）讨论函数f（x）的导函数f（x）的单调性；（2）若对x1，x2（1，e），都有3，求a的取值范围；（3）若方程f（x）a有两个不同的解，求a的取值范围解：（1）f（x）a（lnx+1）xaalnxx，x0，f（x）1，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减，当a0时，若0xa，则f（x）0，f（x）在（0，a）单调递增，若xa，则f（x）0，f（x）在（a，+）单调递减，综上可知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递减，当a0时，f（x）在（0，a）单调递增，在（a，+）单调递减（2）设1x1x2e，则f（x1）3x1f（x2）3x2，构造函
29、数h（x）f（x）3x，1xe，即h（x）在（1，e）递减，所以h（x）alnxx30，a，设u（x），1xe，u（x），又设v（x）lnx1，1xe，则v（x）+0，v（x）在（1，e）上单调递增，所以v（x）v（e）0，所以u（x）0，u（x）在（1，e）上单调递减，所以u（x）u（e）e+3，即a的取值范围是（，e+3（3）f（x）alnxx，x0，令g（x）f（x）aalnxxa，方程f（x）a有两个不同的解，即g（x）有两个零点，即g（x），x0，当a0时，g（x）单调递减，g（x）最多有一个零点，当a0时，g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减，所以g（x）maxg
30、（a）alnaaa0，解得ae2，下证：当ae2时，g（x）有两个零点，因为g（1）1a0，g（a）0，所以g（x）在（0，a）有唯一零点，又因为lnxx，所以ln，所以lnx2，所以g（x）alnxxa2axa，取2a，即x4a2，g（4a2）2a2a4a2aa0，由4a2a，所以g（x）在（a，+）上有唯一零点，综上可知，当a（e2，+）时，g（x）有两个零点22在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+1（ab0）经过点P（1，），焦距为4经过椭圆E的左焦点F的直线l与椭圆E相交于A、B两点（1）求椭圆E的方程；（2）当直线l经过椭圆E的上顶点时，求AOB的面积；（3）若经过点F作l的垂线，并
31、与直线x3相交于点P当APB最大时，求直线l的方程解：（1）因为椭圆E经过点P（1，），焦距为4，所以，得5b4+11b2160，解得b21，所以a25，所以椭圆E的方程为+y21（2）由（1）知，椭圆E的上顶点为（0，1），此时直线l的方程为x2y2，代入椭圆的方程x2+5y25，得9y28y10，解得y1或y，所以AOB的面积为S2（1+）（3）直线l的倾斜角不等于0，（否则直线l与直线x3垂直），所以可设直线l：xmy2，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+5）y24my10，所以20（1+m2）0，y1+y2，y1y2，x1+x2m（y1+y2）44，所以y1，y2异号，由求根公式可得|y1y2|，在RtPFA中，tanAPF，同理可得tanBPF，所以tanAPBtan（APF+BPF）51010（0，当且仅当，m2，即m时，取等号，所以APB为锐角，又ytanx在（0，）上单调递增，所以APB最大值，m，所以APB最大时，直线l的方程为xy+20