1、2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课后篇巩固探究一、A组基础巩固1.已知A(2,-3),B(1,-6),则BA=()A.(-1,-3)B.(1,3)C.(3,-9)D.(1,-3)解析:BA=(2,-3)-(1,-6)=(1,3).答案:B2.已知AB=(4,-5),B(3,-1),则点A的坐标为()A.(7,-6)B.(1,-4)C.(-1,4)D.(1,4)解析:设A(x,y),则AB=(3,-1)-(x,y)=(3-x,-1-y)=(4,-5),3-x=4,-1-y=-5.x=-1,y=4,即A(-1,4).答案:C3.如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,向量a+b+c可表示
2、为()A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2答案:C4.已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB与CD互为相反向量,则D点坐标为()A.(1,0)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(-1,1)解析:AB=(1,1),CD=(-1,-1),D(1,-1).答案:C5.已知a-12b=(1,2),a+b=(4,-10),则a=()A.(-2,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)解析:2a-b=(2,4),a+b=(4,-10),将两式相加,3a=(6,-6),a=(2,-2).答案:D6.平面上有三个点,分别为A(2,-5),
3、B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC的中点,则向量DA的坐标为.解析:D是线段BC的中点,由中点坐标公式,可得D1,12,再由向量的坐标公式,得DA=(2,-5)-1,12=1,-112.答案:1,-1127.已知点A(3,7),AB=(-2,8),则点B的坐标为.解析:设B(x,y),则(x-3,y-7)=(-2,8),x=1,y=15.答案:(1,15)8.已知三点A(8,-7),B(-16,20),C(4,-3).求向量2AB+3BC与CB-2AC的坐标.解:AB=(-24,27),BC=(20,-23),AC=(-4,4),CB=(-20,23),2AB+3BC=(-48,54
4、)+(60,-69)=(12,-15).CB-2AC=(-20,23)-(-8,8)=(-12,15).9.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M,N的坐标和MN的坐标.解:A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4),由CM=3CA,得(x+3,y+4)=3(1,8)=(3,24),即x+3=3,y+4=24,解得x=0,y=20,即M(0,20).同理可得N(9,2).所以MN=(9,-18).二、B组能力提升1.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c
5、=(-1,-2).若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)解析:由题意可知,4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,d=-6a-4b+4c.d=-6(1,-3)-4(-2,4)+4(-1,-2).d=(-2,-6).答案:D2.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=()A.-12a+32bB.12a-32bC.32a-12bD.-32a+12b答案:B3.ABC的两个顶点为A(4,8),B(-3,6),若AC的中点在x轴上,BC的中点在y轴上,则点C的
6、坐标为()A.(-8,3)B.(-3,4)C.(3,-8)D.(-4,3)答案:C4.已知在ABCD中,AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC,BD交于点O,则CO的坐标为()A.-12,5B.12,5C.-12,-5D.12,-5解析:如图所示,AC=AB+AD=(-2,3)+(3,7)=(1,10),所以OC=12AC=12,5.所以CO=-12,-5.答案:C5.设点A,B,C,D的坐标依次为(-1,0),(3,1),(4,3),(0,2),则四边形ABCD的形状为.(填“平行四边形”“菱形”)解析:如图所示,AD=(0,2)-(-1,0)=(1,2),BC=(4,3)-(3,
7、1)=(1,2),所以AD=BC.又AB=(3,1)-(-1,0)=(4,1),所以|AD|=5,|AB|=17,所以|AD|AB|,所以四边形ABCD为平行四边形.答案:平行四边形6.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至点E,使|CE|=14|ED|,则点E的坐标为.解析:因为AC=12BC,所以OC-OA=12(OC-OB),即OC=(3,-6).又因为CE=-14ED,设E(x,y),则x-3=-14(4-x),y+6=-14(-3-y),得x=83,y=-7.答案:83,-77.已知A(-3,0),B(0,2),O
8、为坐标原点,点C在AOB内,|OC|=22,且AOC=4.设OC=OA+OB(R),则=.解析:过C作CEx轴于点E,由AOC=4,知|OE|=|CE|=2,所以OC=OE+OB=OA+OB,即OE=OA,所以(-2,0)=(-3,0),故=23.答案:238.导学号73764051已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,求:(1)t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)设P(x,y),由OP=OA+tAB得(x,y)=(1,2)+t(3,3),即x=1+3t,y=
9、2+3t.若P在x轴上,则yP=0,即2+3t=0,所以t=-23.若P在y轴上,则xP=0,即1+3t=0,所以t=-13.若P在第二象限,则1+3t0-23t-13.(2)若四边形OABP能构成平行四边形,则OP=AB,即(1+3t,2+3t)=(3,3).所以1+3t=3,2+3t=3,这是不可能的.故不能成为平行四边形.9.导学号73764052已知向量u=(x,y)与v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3
10、)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.解:(1)证明:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),所以f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b),即对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).(2)f(a)=f(1,1)=(1,21-1)=(1,1),f(b)=f(1,0)=(0,20-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),所以y=p,2y-x=q,解得x=2p-q,y=p.故向量c=(2p-q,p).