1、专题4 三角函数与平面向量第16练 三角函数的化简与求值三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力.运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 A.32B.32C.12D.12 体验高考 解析 123451.(2015课标全国)sin 20cos 10cos 160sin 10等于()sin 3012.解析 sin 20cos 10cos 160sin 10 sin 20cos
2、10cos 20sin 10 A.1B.2C.3D.4 2.(2015重庆)若 tan 2tan 5，则cos310sin5等于()解析 cos310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos 5cos sin 5sin cos 5cos sin 5tan tan 51tan tan 5121213.12345解析 3.(2016四川)cos28sin28_.解析 由题可知，cos2 8sin2 8cos 4 22.2212345解析答案 123454.(2016课标全国甲)若 cos4 35，则 sin 2 等于()A.725B.15C.15D.725 解析 因为 sin
3、2cos22 2cos24 1，解析 又因为 cos4 35，所以 sin 22 9251 725，故选 D.123455.(2016课标全国丙)若 tan 34，则 cos22sin 2 等于()A.6425B.4825C.1 D.1625返回 解析 解析 tan 34，则 cos22sin 2cos24sin cos cos2sin2 14tan 1tan2 6425.高考必会题型 题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin2cos21；tan sin cos.基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1sin2cos2；(3)在进行开方运算时，注意判断符号.例1
4、已知tan 2，求：解析答案(1)4sin 2cos 5sin 3cos 的值；解 方法一 tan 2，cos 0，4sin 2cos 5sin 3cos 4sin cos 2cos cos 5sin cos 3cos cos 4tan 25tan 3422523 613.方法二 由tan 2，得sin 2cos，代入得 4sin 2cos 5sin 3cos 42cos 2cos 52cos 3cos 6cos 13cos 613.(2)3sin23sin cos 2cos2的值.3sin23sin cos 2cos2sin2cos23tan23tan 2tan21解 3sin23sin c
5、os 2cos2 解析答案 点评 322322221165.解析答案 变式训练 1 已知 sin(3)2sin32 ，求下列各式的值：(1)sin 4cos 5sin 2cos；解 由已知得sin 2cos.原式2cos 4cos 52cos 2cos 16.(2)sin2sin 2.解 原式sin22sin cos sin2cos2sin2sin2sin214sin285.题型二 利用诱导公式化简与求值1.六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2.诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例 2(1)设
6、 f()2sincoscos1sin2cos32 sin22sin 12，则 f236_.解析 f()2sin cos cos 1sin2sin cos2解析答案 32sin cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan，f236 1tan236 1tan46 1tan 6 3.解析答案 点评(2)化简：sin2 cos2cossincos2sin_.解析 原式cos sin cos sin sin sin sin sin 0.0变式训练 2(1)(2016课标全国乙)已知 是第四象限角，且 sin4 35，则 tan4 _.43答案 解析 解析答案(2)
7、已知 cos6 a(|a|1)，则 cos56 sin23 _.解析 cos56 cos6 cos6 a.0sin23 sin26 cos6 a，cos56 sin23 0.题型三 利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.解析答案(1)sin 50
8、(1 3tan 10)；解(1)sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)例3 化简：sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50cos6010cos 60cos 102sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.解析答案 点评(2)2cos4x2cos2x122tan4x sin2x4.解 原式2cos2xcos2x1122tan4x cos24x4cos2xsin2x14cos4x sin4x1sin22x2sin22x cos22x2cos 2x12cos
9、 2x.解析答案 变式训练 3(1)在ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，则 tan A2tan C2 3tan A2tan C2的值为_.解析 因为三个内角A，B，C成等差数列，且ABC，所以 AC23，AC23，tan AC2 3，3所以 tan A2tan C2 3tan A2tan C2tanA2C2 1tan A2tan C2 3tan A2tan C2 31tan A2tan C2 3tan A2tan C2 3.(2)2cos 10sin 20sin 70的值是()A.12B.32C.3D.2解析 原式2cos3020sin 20sin 702cos 30cos 2
10、0sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.解析 返回(3)若 2，且 3cos 2sin4，则 sin 2 的值为()A.118B.118C.1718D.1718解析 高考题型精练 12345解析 678910 11 121.(2015陕西)“sin cos”是“cos 20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin sin cos，故选A.2.(2016课标全国丙)若 tan 13，则 cos 2 等于()A.45B.15C.1
11、5D.45解析 12345678910 11 12解析 tan 13，则 cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.解析 3.若 tan4 12，且20，则2sin2sin 2cos4等于()A.2 55B.3 510C.3 510D.2 55 解析 由 tan4 tan 11tan 12，得 tan 13.又20，所以 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin sin cos 22 sin cos 2 2sin 2 55.12345678910 11 12解析 12345678910 11 12A.ab0B.ab0 C.ab1D.ab
12、1 4.已知 f(x)sin2x4，若 af(lg 5)，bf(lg 15)，则()解析 af(lg 5)sin2(lg 54)1cos2lg 5221sin2lg 52，bf(lg 15)sin2(lg 154)1cos2lg 15221sin2lg 52，则可得ab1.5.已知 sin3 sin 4 35，则 sin76 的值是()A.2 35B.2 35C.45D.45解析 12345678910 11 12 解析 sin3 sin 4 35 sin 3cos cos 3sin sin 4 35 32sin 32 cos 4 35 32 sin 12cos 45，故 sin76 sin
13、cos76 cos sin76 32 sin 12cos 45.12345678910 11 126.若(4tan 1)(14tan)17，则tan()等于()A.14B.12C.4 D.12解析 解析 由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1tan tan)，tan()tan tan 1tan tan 4.7.(2015江苏)已知 tan 2，tan()17，则 tan 的值为_.解析 tan 2，3tan()tan tan 1tan tan 2tan 12tan 17，解得tan 3.解析答案 12345678910 11 122 5512345678
14、910 11 12解析 f(x)sin x2cos x 555 sin x2 55 cos x 5sin(x)，解析答案 其中 sin 2 55，cos 55，当 x2k2(kZ)时，函数 f(x)取到最大值，即 2k2 时，函数 f(x)取到最大值，8.设当x时，函数f(x)sin x2cos x取得最大值，则cos _.所以 cos sin 2 55.9.已知 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则sin4sin 2cos 21_.12345678910 11 12268解析 答案 10.(2015四川)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_.123
15、45678910 11 12解析 sin 2cos 0，sin 2cos，tan 2.1解析答案 又2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21，原式221221 1.解析答案 12345678910 11 1211.(2015广东)已知tan 2.(1)求 tan4 的值；解 tan4 tan tan 41tan tan 4tan 11tan 21123.解析答案 12345678910 11 12(2)求sin 2sin2sin cos cos 21的值.解 sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos2112sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 22222221.12345678910 11 1212.已知函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.解析答案 解 f6 cos26sin 6cos 632212 32 3 34.(1)求 f6 的值；12345678910 11 12返回 解析答案(2)若 sin 35，且 2，求 f2 24.