1、1 直线与直线的方程11 直线的倾斜角和斜率考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握直线的倾斜角的概念2.掌握直线的斜率的概念，并理解斜率与倾斜角之间的关系3.能熟练地运用斜率的定义及两点斜率公式求直线的斜率.重点：直线倾斜角的概念及斜率的概念与计算难点：倾斜角的范围与斜率的范围之间的转化疑点：直线的倾斜角与斜率之间的关系.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理一、直线的倾斜角1定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线 l，把 x轴(正方向)按方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角2当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾
2、斜角为.3当直线 l 和 y 轴平行时，它的倾斜角为.4倾斜角的取值范围是 .5直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度逆时针0900180二、直线的斜率1定义：对于倾斜角不是的直线，它的倾斜角的叫作直线的斜率，记作 k.2倾斜角为 90的直线的斜率.3斜率的求法(1)定义法：已知倾斜角(90)，k.(2)两点法：在直线 l 上任取两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1x2)，则斜率 k.直角正切值tan 不存在tan y2y1x2x1双基自测1下面四种说法正确的个数是()直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，而直线的斜率不能表示直线的倾斜程度；直线的倾斜角越大其斜率就越大；直线的
3、斜率越大其倾斜角就越大；任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率A0 B1 C2 D3解析：只有正确答案：B2直线 y1 的倾斜角为()A0 B90 C180 D不存在解析：直线 y1 平行于 x 轴，倾斜角为 0.答案：A3过点 A(1，3)和点 B(2,4)的直线的斜率为()A.17B17C7 D7解析：k43217.答案：C4给出下列命题：任意一条直线有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为 0的直线只有一条，为 x 轴；倾斜角为 60的直线有无数条，它们的斜率为 3.其中正确命题的序号为_解析：由倾斜角的定义可知每条直线都有唯一的倾斜角，正确；倾斜角 的取值范围是 0180，
4、不可能是负角，不正确；倾斜角为 0的直线有无数条，它们是互相平行的，故不正确；正确答案：5已知 A(1,2)，B(3,2)，若直线 AP 与直线 BP 的斜率分别为 2 和2，则点 P 的坐标为_解析：设 P(x，y)，则y2x12 且y2x32，x1，y6.答案：(1,6)探究一 直线的倾斜角问题典例 1(1)如图，AOB 为等腰直角三角形，则直线 OA，OB，AB的倾斜角分别为_；(2)直线 l 经过坐标原点，且倾斜角为 120，若将直线 l 绕原点逆时针方向旋转 30，得到直线 l1，则 l1 的倾斜角为_解析(1)因为AOB 为等腰直角三角形，所以AOBABO45，因此直线 OA 的倾
5、斜角为 45，直线 AB 的倾斜角为 18045135，又直线 OB 与 x 轴重合，所以其倾斜角为 0.(2)依题意知，将 x 轴绕原点逆时针旋转 120时，得到直线 l，再逆时针旋转 30得到直线 l1，故 l1 的倾斜角为 12030150.答案(1)45，0，135(2)150(1)求直线的倾斜角时，要依据题意画出图形，然后根据直线倾斜角的定义，找出直线向上的方向与 x 轴正方向的夹角，即得直线的倾斜角(2)结合图形求倾斜角时，要注意充分运用平面几何中的相关知识，如三角形内角和定理及其推论等1求图中各直线的倾斜角解析：(1)如图(1)，可知OAB 为直线 l1 的斜倾角易知ABO30，
6、OAB60，即直线 l1 的倾斜角为 60.(2)如图(2)，可知xAB 为直线 l2 的倾斜角，易知OBA45，OAB45，xAB135，即直线 l2 的倾斜角为 135.(3)如图(3)，可知OAC 为直线 l3 的倾斜角，易知ABO60，BAO30，OAC150，即直线 l3 的倾斜角为 150.探究二 求直线的斜率典例 2(1)已知两条直线的倾斜角分别为 60，135，求这两条直线的斜率；(2)已知 A(3,2)，B(4,1)，C(0，1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；(3)求经过两点 A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率解析(1)直线的斜率分别为 k1tan 60 3，k2t
7、an 1351；(2)直线 AB 的斜率 kAB 124317；直线 BC 的斜率 kBC 110424 12；直线 AC 的斜率 kAC2130331.(3)当 m2 时，直线 AB 的斜率不存在；当 m2 时，直线 AB 的斜率 kAB43m21m2.1求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角(90)时，可利用斜率的定义，即 ktan 求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线的斜率公式计算求得2使用斜率公式 ky2y1x2x1求斜率时，要注意其前提条件是 x1x2，若 x1x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在2(1)直线过两点 A(1,3)，B(2,7)，求
8、直线的斜率；(2)过原点且斜率为 1 的直线 l，绕原点沿逆时针方向旋转 90到达 l位置，求 l的斜率解析：(1)由于两点的横坐标不相等，所以直线存在斜率，根据直线的斜率公式，得直线的斜率为 k73214.(2)直线 l 的斜率 k1，所以直线 l 的倾斜角为 45，所以直线 l的倾斜角为 4590135，即 l的斜率 k tan 1351.探究三 斜率的应用典例 3 已知 P(3，1)，M(5,1)，N(1,1)，直线 l 过 P 点且与线段 MN 相交，求：(1)直线 l 的倾斜角 的取值范围；(2)直线 l 的斜率 k 的取值范围 解析 因为 kPM11531，所以直线 PM 的倾斜角
9、为 45.又 kPN11131，所以直线 PN 的倾斜角为 135.(1)由图可知，直线 l 过 P 点且与线段 MN 相交，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是45135.(2)当 l 垂直于 x 轴时，直线 l 的斜率不存在，所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是k(，11，)已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解3(1)a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？(2)若直线 l 的倾斜角 120，且 tan
10、120 3，求其斜率的取值范围；(3)若直线 l 的斜率 k1，求其倾斜角的取值范围解析：(1)当过点 A，B 的直线的倾斜角是锐角时，kAB0，根据斜率公式得 kAB 312a2 2a10，所以 a1；同理，当倾斜角为钝角时，kAB0，即 2a10，所以 a120，所以 120180，即 l 的倾斜角是比 120大的钝角，而 120角对应的斜率为 tan 120 3，故斜率的取值范围是 3k0.(3)由于直线 l 的斜率 k1，所以其倾斜角一定是锐角，又当 k1 时，其倾斜角为 45，所以其倾斜角的取值范围是 4590.数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用典例 已知 A(3,4)，B(
11、3,2)，P(1,0)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围解析 如图所示，由题意可知，kPA 40311，kPB20311.(1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是(，11，)(2)由题意知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间又 PB 的倾斜角是 45，PA 的倾斜角是 135，所以 的取值范围是45，135感悟提高(1)已知一条线段 AB 的端点及线段外一点 P，过点 P 的直线 l 与线段有交点的情况下，求直线 l 斜率的范围的方法：连接
12、PA、PB；由 ky2y1x2x1(x1x2)，求出 kPA，kPB；结合图形，写出满足条件的直线 l 斜率的范围(2)数形结合思想是一种重要的数学思想，在解析几何中经常用到，借助图形的直观性很容易阐明数与数之间的关系，而且也会使复杂的问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快速得到解决随堂训练 1给出以下说法：任何直线都有唯一的倾斜角；任何直线都有唯一的斜率；倾斜角是 0的直线只有一条；直线的倾斜角可以是60.其中正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：由直线倾斜角的定义知正确；由斜率的定义知错误；倾斜角是 0的直线有无数条，它们都与 x 轴平行或重合，错误；直线的倾斜角的取值范围是0，18
13、0)，故错误答案：B 2如图，已知直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：由图知直线 l1 的倾斜角为钝角，k10.又直线 l2，l3的倾斜角为锐角，且 l2 的倾斜角较大，0k3k2，k1k3k2.答案：D3经过两点 M(3,2)，N(4,6)的直线的斜率等于_解析：kMN62434.答案：44已知直线 l 经过点 P(1,2)和 Q(x,0)(1)若 l 的倾斜角为 45，求 x 的值；(2)若 l 的倾斜角为钝角，求 x 的取值范围解析：(1)l 的倾斜角为 45，则 kltan 451，亦即 kPQ1，于是02x11，解得 x1.(2)l 的倾斜角为钝角，则 kl0，亦即 kPQ02x11.课时作业