1、12022 届高三综合测试（一）数学参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题 5 分）.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D B D C B A A C 1.【解析】由题意可得|14,1,2,3,4BxxAB=I.故选：D.2.【解析】()11ziii=+，所以，1zi=.故选：B.3.【解析】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则21222lrlr=，解得221,4rl=.则圆锥的高223hlr=.故选：D.4.【解析】221212431,4(3)1,22ccmmcc=.故选：C.5.【解析】由题意，将函数xy2sin=的图像向左平移 6 个单)
2、32sin()6(2sin+=+=xxy，则平移后函数的对称轴为2232+=+kx，即0=k时，12=x.故选 B.6.【解析】设该种放射性物质初始质量为m，经过n 年，剩留量变为m1001，则可建立模 型为mmn100143=，解得.16n故选 A.7.【解析】不考虑限制条件共有种，B 最先汇报共有种，如果 B 不能最先汇报，而 A、C、D 按先后顺序汇报（不一定相邻）：.故选 A.8.【解析】当，又，所以，故 记，所以，令，得，令，得 所以在单调递减，在单调递增.所以，即，当时取等号.所以，所以2.故选 C.二、多项选择题（全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）
3、.题号9 10 11 12 答案ABDBC AC AD 9.【解析】根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为，乙选手成绩的极差为，A 正确；易知甲成绩的中位数是，乙成绩的中位数是，B 正确；甲选手成绩的平均数为90，方差为()()()()()554908790929095909090865122222=+乙选手成绩的平均数为，方差为，C 错误；由于甲选手成绩的平均数为 90，乙选手成绩的为 91，D 正确故选：ABD.10.【解析】当与不共线，可以表示平面内任一向量，所以()0213kk，解得13kk且,A 错误;若，则，所以，得.B 正确；若()()().3921,2222+kkkba，解得有
4、C 正确；当1=k时，与平行，夹角不是锐角，D 错误.故选：BC.11.【解析】在杨辉三角中,第 9 行第 7 个数是8469=C.A 正确.当时，78213121221=+=LS,B 错误.C 选项用数学符号语言可表示为:，证明:对应相乘，恰好得到 xn这一项的系数为 而是二项式的展开式中第 n+1 项的二项式系数（即 xn的系数）故 ，C 正确.D 项：第 n 行的第 i 个数为1322110111122222+=+=nnniiiiniaaaaaCaL，所以 3()nnnnnnnnniiiCCCCa32122222221100111=+=+=+=L即，D 错误.故选：AC.12.【解析】如
5、图(1)所示，因为线段 BE 在棱 AB 上，过 F 作棱CD 的平行线，交1DD 于点,G 显然G 为1DD 的中点，因为DCAB=,所以GFAB=，所以平行四边形 ABFG 即为截口，因为BFAB，所以截面图形是矩形，A 正确；如图(2)所示，作CD 中点 H，连接HC1,可知EBHC11=,作CH 中点G,连接 FG,在HCC1中，由三角形中位线定理可知HCFG121=，所以EBFG121=，所以1EGFB即为截口，由面面平行的性质定理可知GFEB 平行1，且FBGE1，所以1EGFB 是梯形，但不等腰,B 错；如图(3)所示，延长FD1交 DC 延长线于点 M，连接 ME，交 BC 于
6、点 H,交 DA 于点 N,连接ND1,交1AA 于点G，五边形1D GEHF 为过三点1DEF，的平面截正方体的截口，其中G 为1AA 的四等分点，且靠近 A 点，其中 H 为 BC 的三等分点，且靠近 B 点，由于直线CA 与 EH 相交，而 EH 面1D EF，所以CA 不平行平面EFD1,C 错；如图(4)所示，当13DPDC=uuuruuur时，可证得BPEH,EH 面1B BP,故 D 正确.三、填空题（第 13、14、15 题每小题 5 分，第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）.题号13 14 15 16 答案-1 71 328，5 6,6 图（1）图（2）图（3）图（4
7、）413.【解析】由函数是定义在上的奇函数得，所以.14.【解析】又 15.【解析】设的外接圆的圆心为 D，半径为r，球的半径为 R，球心为O，底面为直角三角形，故其外接圆圆心 D 在斜边中点处，则，球心O 与所在面的圆心 D 的连线OD 垂直于所在的平面，易知,在中，348 233VR=球.16.【解析】当lx轴时，22(2,4)Paa，22(2,4)Qaa，所以122123kaka=+，从而1a=，所以5c=，5e=；由题意知，)0,1(),0,1(BA.设直线l 的方程为2+=nyx，),(),(2211yxQyxP，联立22142yxxny=+，整理得：22(41)16120nyny+
8、=1212221612,4141nyyy ynn+=12123()4ny yyy=+,又121212,11yykkxx=+故21222221122111212112113()31(+33433(1)()41yyyykxy nyny yyyky nyny yyyyyx+=+）所以可知123kk=，当点 P 在右支运动时，画图可知：221 k，故662 k。四、解答题（第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分）.17.（本小题满分 10 分）【解析】选：，1 分 5将上述个式子相加，整理的12212222+=nnnaaL2212)12(21=nn2 分 又因为21=a，所以nna2
9、=3 分 选：22nnSa=，当1=n时，21=a，1 分 当2n时，()()222211=nnnnnaaSSa2 分 21=nnaa，所以nna2=综上，nna2=nN 3 分 选：,2,1,2211=+anSnn时当 1 分 22,22211=+nnnnSSn时，当2 分 ,21nnnnSSa=所以nna2=综上，nna2=nN 3 分 设等差数列的公差为d，由题有21642=+bbb，解得2=d4 分 从而12=nbn5 分（2）由（1）可得()nnnc212=6 分 令nc 的前 n 项和是nT,则()nnnT212252321321+=L()14322122523212+=nnnTL
10、 7 分 两式相减得()()132121222222221+=nnnnTL8 分()121212212821+=nnnnT9 分 化简得()62326232112+=+=+nnnnnnT10 分 18.（本小题满分 12 分）6【解析】（1）设甲同学三道题都答对的事件为则，2 分 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.4 分 另解：甲同学答对的事件数为 0,1,2 进行分类亦可。（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，5 分 则，6 分 所以的概率分布列为：所以 8 分 设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分，10 分 所以的概率分布列为：所以11分 所以，所以乙的得分能力更强
11、.12 分 另解：乙同学答对题目服从二项分布，则所以乙的得分能力更强.19.（本小题满分 12 分）【解析】（1）由正弦定理及已知，得 1 分 72 分 3 分 4 分 即 6 分（2）由DCBA、四点共圆得oo120,180=+DDB7 分 设xDCxAD2,=在三角形 ADC 中，由余弦定理可得，8 分 SACD=9 分 而 SABC=24=ac 10 分 SABC=因此SABCD=8.12分 20.（本小题满分 12 分）【解析】（1）取中点，连接、，,1 分 因为，则，由余弦定理可得，2 分，故，3 分 又为等腰直角三角形，为的中点，则.、分别为、的中点，则，故，4 分 又，平面，5
12、分 又面，6 分（2）由（1）可知，且，所以，为直角三角形，以为原点，为轴，为轴，为 轴建立空间直角坐标系 7 分 8如图所示，则、，因为 P 为 AM 的中点,所以 21,21,1P则，21,23,1BP，8 分 设平面的法向量为，则，即=+=0212303zyxyx 取，则，3=z，()3,1,3=n，9 分 由题可知为面的一个法向量10 分 所以191931193,cos0=nn11 分 设二面角的平面角为，由图知 为锐角，所以19193,coscos0=nn12 分 另解：P 的射影点是OA 的中点，求出 P 的射影点到公交线 BD 的距离亦可。21.（本小题满分 12 分）【解析】（
13、1）据题意，设(,)T x y，则2222(3)12(3)xyxy+=+1 分 即22224(69)69xyyxyy+=+2 分 故16)5(22=+yx为轨迹 H 的方程；（也可写221090 xyy+=）4 分（2）如图：由圆与抛物线的对称性，四边形 ABCD 是以 y 轴为对称轴的等腰梯形5 分 不妨设DACDAB,+=（902p 6 分 证明：依据圆与抛物线的对称性，直线 AC 与直线 BD 的公共点必在Y 轴上，要证直线 AC 与直线 BD 相交于G 点，只要证：,A G C 三点共线；只要证：AGACkk=只要证：112112322()yyypypyy=+只要证：11213yyyy
14、=只要证：123y y=上式显然成立，且各步可逆，故直线 AC 与直线 BD 相交于G 点8 分 解法一：S212211122()()()(3)(3)GABGCDABCDSSSSxxyyxyxy=+=+梯形 10分1221211221213()2()3 2()x yx yxxpy yyypyy=+=+2112126 2)6 226 242pyypyyy ypp=+=（2(42)6122pp+=11 分 当且仅当242pp=，即1p=时，6max=S，此时抛物线方程为22xy=12 分 解法二：S212121221(3)2(3)2(3)ABDABGSSx ypyypy yyy=10 分 1212
15、2423 2(23 24236122pppyyy yppS+=+=当且仅当242pp=，即1p=时，6max=S，此时抛物线方程为22xy=12 分 解法三：G 把直径分成长度为 2 和 6 的两段，由相交弦定理可得GDAGGCAG=62 所以6sin6sin21=GDAGS GAD，当且仅当o90=时，成立。故6max=S。1022.（本小题满分 12 分）【解析】（1）若，则，1 分 又，所以2 分 所以曲线在点处的切线方程是：3 分（2）函数的定义域为 又 所以函数的零点个数，即方程的解的个数 记，显然是函数的零点4 分 记，5 分 若，则，即，所以，所以函数在 单调递增，函数有唯一零点
16、 1.6 分 若，此时，则，所以，所以函数在有 唯一零点 1 7 分 若时，由于 8 分 所以函数的在的零点个数与在零点个数相同 当时，所以，使得，当时，所以函数在单调递增.当时，所以函数在单调递减.9 分 11所以，又.10 分 所以函数在有 1 个零点，在没有零点.所以函数在和各有 1 个零点.11 分 综上所述，当或时，函数的零点个数为 1；当时，函数的零点个数为 3.12 分 注：1.若学生没有换底，直接对函数求导，讨论单调性，参照上面解法给分；2.若学生在讨论时，没有证明，直接讨论函数在零点个数，一样给分；3.若未取出具体点，用极限研究，可酌情给分；4.转化为方程11log+=xxxa的解，进而转化两个函数11log+=xxyxya 和的图像的交点研究按以上解法给分。
