1、第20讲坐标系与参数方程高考年份全国卷全国卷全国卷2020圆与其他曲线的交汇T22直线与双曲线的参数方程,圆的极坐标方程T22两点间的距离与直线的极坐标方程T222019椭圆的参数方程与点到直线的距离T22直线的极坐标方程与点的轨迹方程T22圆的极坐标方程与点的极坐标T222018极坐标方程与直角坐标方程的综合应用T22椭圆的极坐标方程与中点弦问题T22直线与圆的位置关系,点的轨迹的参数方程T221.2020全国卷在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos-16sin+3=
2、0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.2.2019全国卷在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos+3sin+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.3.2019全国卷如图M7-20-1,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写
3、出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.图M7-20-1极坐标与简单曲线的极坐标方程12020全国卷已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.【规律提炼】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点:(1)注意,的取值范围及其影响;(2)重视方程的变形及公式的正用、逆
4、用、变形使用.2.对于极坐标的综合运用,在涉及长度问题,即求由极点引出的直线截曲线所得公共弦的长度时,用极坐标的几何意义解题较简单,当涉及角度问题时,极坐标也有重要的作用.测题在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为x+y-a=0,曲线C的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且直线OA与OB的斜率之积为54,求a的值.简单曲线的参数方程2在平面直角坐标系xOy中,圆O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点(0,-2)且倾斜角为的直线l与圆O交于A,
5、B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【规律提炼】将参数方程化为普通方程,在消参数的过程中,要注意x,y的取值范围,保持等价转化.另外确定曲线的参数方程时,一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围,必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.测题在平面直角坐标系xOy中,将曲线C:x2+y2=1上的点按坐标变换x=2xy=y得到曲线C,M为C与x轴负半轴的交点,经过点M且倾斜角为60的直线l与曲线C的另一个交点为N,与曲线C的交点分别为A,B(点A在第二象限).(1)写出曲线C的普通方程及直线l的参数方程;(2)求|AN|-|BM|的值.极坐标方程与参数方程的综合应用3在
6、平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+tcos,y=2+tsin(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为2+4cos-4sin=12,点P为曲线E上的动点,点Q为线段OP的中点,设点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l交曲线C于A,B两点,点M(-1,2)恰好为线段AB的三等分点,求直线l的普通方程.【规律提炼】解决极坐标方程与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与普通方程的互化.若涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题,往往通过参数方程引入三角函数,利用三角函数的最值求解.另外要
7、注意数形结合的应用,即充分利用参数方程、参数的几何意义,或者利用和的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.测题在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-2-12t,y=32t(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是+3cos=0.(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设P(-2,0),直线l与曲线C交于A,B两点,求|SAPO-SBPO|.第20讲坐标系与参数方程真知真题扫描1.解:(1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=
8、4时,C1:x=cos4t,y=sin4t,消去参数t得C1的直角坐标方程为x+y=1.C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.由x+y=1,4x-16y+3=0解得x=14,y=14,故C1与C2的公共点的直角坐标为14,14.2.解:(1)因为-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数,-).C上的点到l的距离为|2cos+23sin+11|7=4cos-3+117.当=-23时,4cos-3
9、+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.3.解:(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以M1的极坐标方程为=2cos04,M2的极坐标方程为=2sin434,M3的极坐标方程为=-2cos34.(2)设P(,),由题设及(1)知若04,则2cos=3,解得=6;若434,则2sin=3,解得=3或=23;若34,则-2cos=3,解得=56.综上,P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.考点考法探究解答1例1解:(1)C1的普通方程为x+y=4(0x4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t
10、2-2,所以x2-y2=4,故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得x=52,y=32,所以点P的直角坐标为52,32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=x0-522+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为=175cos.【自测题】解:(1)将x=cos,y=sin代入x+y-a=0的方程,得直线l的极坐标方程为cos+sin-a=0.在曲线C的参数方程中,消去,可得x24+y2=1,将x=cos,y=sin代入x24+y2=1,可得曲线C的极坐标方程为2(4sin2+cos2)=4.(2)直线l与曲线C的公共点的极坐标满足co
11、s+sin-a=0,2(4sin2+cos2)=4,则a2(4sin2+cos2)=4(cos+sin)2,即4a2sin2+a2cos2=4(sin2+cos2+2cossin),两边同时除以cos2(由题可知cos0),可得4a2tan2+a2=4+8tan+4tan2,即(4a2-4)tan2-8tan+a2-4=0,设A(1,1),B(2,2),则kOAkOB=tan1tan2=a2-44a2-4=54,解得a=12.解答2例2解:(1)由已知得,圆O的普通方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan=k,则l的方程为y=kx-2.当l与O交于两点时,有21+k21
12、,解得k1,即4,2或2,34.综上,的取值范围是4,34.(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsint为参数,434,将其代入圆O的普通方程可得t2-22tsin+1=0.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,又tA+tB=22sin,所以tP=2sin.又点P的坐标(x,y)满足x=tPcos,y=-2+tPsin,所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2为参数,40,由点M(-1,2)恰好为线段AB的三等分点,不妨设方程两根为-t,2t,所以-t+2t=-2sin,-t2t=-4,即t=-2sin,t2=2,所以sin2
13、=12,则cos2=12,又sin与cos在一、三象限同号,二、四象限异号,所以直线l的斜率k=tan=1,又直线l过M(-1,2),故直线l的普通方程为x-y+3=0或x+y-1=0.【自测题】解:(1)由x=-2-12t,y=32t,消去参数t,可得直线l的普通方程为3x+y+23=0.由+3cos=0得2+3cos=0,因为2=x2+y2,cos=x,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+3x=0.(2)由(1)知曲线C:x+322+y2=94.联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得-2-12t+322+32t2=94,化简得t2+12t-2=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-12,因为O到直线l的距离d=|23|12+(3)2=3,所以|SAPO-SBPO|=12|AP|d-12|BP|d=32|t1+t2|=34.
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