1、第10讲数列求和与数列的简单应用高考年份全国卷全国卷全国卷2020等比数列基本量问题与错位相减法求和T17错位相减法求和T172019等差、等比数列基本量问题与证明T192018等差数列的通项公式及前n项和T171.2020全国卷设an是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求an的公比;(2)若a1=1,求数列nan的前n项和.2.2019全国卷已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.3.2019天津卷设an是等差数列,bn是等
2、比数列,已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通项公式.(2)设数列cn满足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kN*.(i)求数列a2n(c2n-1)的通项公式;(ii)求i=12naici(nN*).等差、等比数列的基本量的计算1数列an和bn分别是各项都为正数的等差数列和等比数列,满足a1=2,b1=1,a3b3=1,a5b2=2+a1b2.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)令cn=an+bn,求数列cn的前n项和Tn.【规律提炼】由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要立足两数列的概念,设出相应的基本量,充分使用通项
3、公式、求和公式、数列的性质,确定基本量.解综合题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,确定解题策略.测题设M=-3a3,N=2a2,T=a4,给出以下四种排序:M,N,T;M,T,N;N,T,M;T,N,M.从中任选一个,补充在下面的问题中,解答相应的问题.已知等比数列an中的各项都为正数,a1=1,且依次成等差数列.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,01,数列bn的前n项和为Sn,求满足Sn100bn的最小正整数n.数列的证明问题2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,nN*.(1)求证:数列an为等比数列;(2)设数列an2的前n项和为Tn,求
4、证:S2nTn为定值;(3)判断数列3n-an中是否存在三项按原顺序依次成等差数列,并证明你的结论.【规律提炼】数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法:利用定义,证明an+1-an(nN*)为一常数;利用等差中项的性质,即证明2an=an-1+an+1(n2).(2)证明数列an是等比数列的两种基本方法:利用定义,证明an+1an(nN*)为一常数;利用等比中项的性质,即证明an2=an-1an+1(n2).测题已知数列an是各项均为正整数的等比数列,且a1=1,8a2,3a4,a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2an+2
5、,数列1bn2的前n项和为Tn,求证:Tn0.由条件得2a4=2a2-3a3,又因为a1=1,所以2q3=2q-3q2,即2q2+3q-2=0,解得q=12(负值舍去),所以an=12n-1.(2)由题意得bn=12n-1,则Sn=1-12n1-12=2n-12n-1.由Sn100bn得2n-12n-11002n-1,即2n101,又因为nN*,所以n的最小值为7.(解答二)选或:(1)设an的公比为q,则q0.由条件得4a2=a4-3a3,又因为a1=1,所以4q=q3-3q2,即q2-3q-4=0,解得q=4(负值舍去),所以an=4n-1.(2)由题意得bn=14n-1,则Sn=1-14
6、n1-14=4n-134n-1.由Sn100bn得4n-134n-11004n-1,即4n301,又因为nN*,所以n的最小值为5.解答2例2解:(1)证明:当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2.当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,即an=2an-1.综上,数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,且an=2n.(2)证明:因为an2=(2n)2=4n,所以an+12an2=4,故数列an2是以4为首项,4为公比的等比数列,从而S2n=2(1-22n)1-2=2(4n-1),Tn=4(1-4n)1-4=43(4n-1),所以S2nTn=
7、32,即S2nTn为定值.(3)数列3n-an中不存在三项按原顺序依次成等差数列.证明如下:假设3n-an中存在第m,n,k(mnk)项成等差数列,则2(3n-an)=3m-am+3k-ak,即2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k.因为mnk,且m,n,kN*,所以n+1k,又y=3x-2x在(0,+)上单调递增,所以2(3n-2n)=3m-2m+3k-2k3m-2m+3n+1-2n+1,所以-3n3m-2m,易知-3n0,故矛盾,所以数列3n-an中不存在三项按原顺序依次成等差数列.【自测题】解:(1)设数列an的公比为q,因为8a2,3a4,a6成等差数列,所以8a2+a6=6a4,又
8、a1=1,所以8q+q5=6q3,因为q0,所以q4-6q2+8=0,所以q2=4或q2=2,又数列an的各项均为正整数,所以q=2,所以an=2n-1.(2)证明:由(1)可知an+2=2n+1,所以bn=log2an+2=n+1,所以1bn2=1(n+1)21n(n+1)=1n-1n+1,所以Tn=1b12+1b22+1b32+1bn2=122+132+142+1(n+1)2112+123+134+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+11,即Tn0),数列bn的公差为d.因为b3=12,b5=20,所以b1+2d=12,b1+4d=20,解得b1=4,d=4,所以bn=4n.因为a3=a1q2=b2=8,a5=a1q4=b8=32,所以a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知,将数列an中的第3项、第6项、第9项、第3n项、删去后构成的新数列cn中的奇数项与偶数项分别成等比数列,其首项分别是a1=2,a2=4,公比均是8,所以数列cn的前2021项和T2021=(c1+c3+c5+c2021)+(c2+c4+c6+c2020)=2(1-81011)1-8+4(1-81010)1-8=2081010-67.
