1、第 1 页（数学试卷 共 5页）2022 年大连市高三第一次模拟考试数学命题人：王 爽陈 威郭 伟本试卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第 I 卷（选择题共 60 分）一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1复数z 满足(32i)13z，则z 在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集U R，集合1,2,3,4,5A
2、，|04Bxx，则图中阴影部分表示的集合为A1,2,3,4B1,2,3C4,5D53设等差数列na的公差为 d，10a，则“50a”是“0d”的A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件42021 年 10 月 12 日，习近平总书记在生物多样性公约第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山。良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲”某工厂对产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量 P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0 e ktPP（0t），其中 k 为常数，0k，0P 为原污
3、染物数量该工厂某次过滤废气时，若前 4 个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤 2 小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的A5%B3%C 2%D1%（第 2 题图）第 2 页（数学试卷 共 5页）5已知数列na是递增的等比数列，且1418aa，2332a a，若na的前 n 项和nS满足1661022kkSS，则正整数 k 等于A5B6C7D86现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是A9:4B9:5C3:2D 3:17已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点为1F、2F，点 M，N 在C 上，且123F
4、 FMN，12F MF N，则双曲线C 的离心率为A622B32C 22D528若直线11yk xb与直线22yk xb12kk是曲线lnyx的两条切线，也是曲线exy 的两条切线，则1212k kbb的值为A.e 1B.0C.1D.11e 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）9如图，在 4 4方格中，向量a，b，c 的始点和终点均为小正方形的顶点，则AabB|abcCabDa cb c10甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8,6,7,7,8,10
5、,10,9,7,8，乙的10 次成绩的平均数为8，方差为0.4，则A甲的10次成绩的极差为 4B甲的10次成绩的75%分位数为8C甲和乙的 20 次成绩的平均数为 8D甲和乙的 20 次成绩的方差为1（第 9 题图）第 3 页（数学试卷 共 5页）11在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为梯形，AB CD，则A平面 PAD 内任意一条直线都不与 BC 平行B平面 PBC 内存在无数条直线与平面 PAD 平行C平面 PAB 和平面 PCD 的交线不与底面 ABCD 平行D平面 PAD 和平面 PBC 的交线不与底面 ABCD 平行12已知奇函数()f x 在 R 上可导，其导函数为()fx，
6、且恒成立，若()f x 在0,1 单调递增，则A()f x 在1,2 上单调递减B(0)0fC(2022)2022fD(2023)1f 第卷（非选择题 共 90 分）三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知抛物线2:8C yx的焦点为 F，在C 上有一点 P，|8PF，则点 P 到 x 轴的距离为_14已知随机变量 2(1,)N，且13PPa，则 19(0)xaxax的最小值为_15将 A、B、C、D、E 这5 名同学从左至右排成一排，则满足“A 与 B 相邻且 A 与C 之间恰好有1名同学”的不同排列方法有_种.16以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebysch
7、eff,1821-1894)的名字命名的第一类切比雪夫多项式 nTx 和第二类切比雪夫多项式 nUx,起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数()nT x 有许多良好的结论，例如：1()T xx，22()21T xx，对于正整数3n 时，有12()2()()nnnT xx TxTx成立 R，(cos)cosnTn成立由上述结论可得4(cos18)T 的数值为_第 4 页（数学试卷 共 5页）四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知数列na满足12
8、22naanan，数列 nb满足对任意正整数2m 均有111mmmmbbba成立.（1）求na的通项公式；（2）求 nb的前99 项和18.（本小题满分 12 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(coscos)abcBA（1）判断ABC的形状并给出证明；（2）若 ab，求sinsinsinABC的取值范围19（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，AD BC，ADCD，且1AD，2CD，5BC，2PA（1）求证：ABPC；（2）在线段 PD 上是否存在一点 M，使二面角 MACD的余弦值为66?若存在，求三棱锥 MABC体积；若不
9、存在，请说明理由（第 19 题图）第 5 页（数学试卷 共 5页）20（本小题满分 12 分）甲、乙是北京 2022 冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3 次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种（1）甲在每次挑战中，成功的概率都为 12.设 X 为甲在3 次挑战中成功的次数，求 X 的分布列和数学期望；（2）乙在第一次挑战时，成功的概率为 0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变,其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加 0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少 0.1（）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；（）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1xyC ab(0)ab的焦距为 2，且经过点3(1,)2P.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 且斜率为 k(0)k 的动直线l 与椭圆交于 A、B 两点，试问 x 轴上是否存在异于点 F 的定点T，使恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由.22（本小题满分 12 分）已知函数()exf xaxa（1）若()0f x，求 a 的值；（2）当1a 时，从下面和两个结论中任选其一进行证明，()lnsinf xxxx；()(ln1)cosf xxxx.
