1、第五章 一元函数的导数及其应用 数学文化了解数学文化的发展与应用(一)早期导数概念特殊的形式大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿求最大值与最小值的方法.在作切线时，他构造了差分f(AE)f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f(A).(二)17世纪广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数.(三)19世纪导数逐渐成熟的理论18
2、23年，柯西在他的无穷小分析概论中定义导数：如果函数yf(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式.读图探新发现现象背后的知识1.我们从物理学中已经知道，物体运动的位移x、速度v、加速度a(均指大小，下同)之间具有紧密的联系.速度描述了位移变化的快慢，加速度描绘了速度变化的快慢，即v，a，其中t表示时间，t表示时间的变化量.特别地，当物体做的是初速度为v0的匀加速直线运动时，a是一个常数，此时xv
3、0tat2，vv0at.2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情.我们在平面解析几何中已知知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性.问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的
4、导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即vxv0at，av，其中x与v分别表示x与v对时间t的导数.(2)由导数的几何意义，切线的斜率为kf(x0)，则曲线yf(x)在点(x0，y0)处切线的方程为yy0f(x0)(xx0).5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题课标要求素养要求1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.体会极限思想.根据具体的实例计算平均变化率和瞬时变化率，并得到二者的关系，借此发展数学抽象与数学运算素养.新知探究下面是我国北方某地某日气温日变化曲线图：某地气温日变化曲线图问题1从图中可以看出，从6时到10时为“气温陡增”的时段，它的数学意义是什么？
5、提示“气温陡增”是指温度在相同的时间内变化大，即温差大.问题2如何比较不同时间段内的气温变化的大小？例如：假设6时的气温是25 ，10时的气温是29 ，12时的气温是30 ，那么如何比较从6时到10时与从10时到12时气温变化的大小？提示用平均变化率比较不同时间段内的气温变化的大小.从6时到10时的气温变化率为1，从10时到12时的气温变化率为，则前者的气温变化大.1.瞬时速度(1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.(2)瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为yh(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为 .(3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|t|无限趋
6、近于0时，平均速度就无限趋近于tt0时的瞬时速度.2.曲线的割线和切线切线是割线的极限位置(1)切线：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线.(2)切线的斜率：设P0(x0，y0)是曲线yf(x)上一点，则曲线yf(x)在点P0(x0，y0)处的切线的斜率为k0 .(3)切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|x|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线PP0无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线PP0的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.拓展深
7、化微判断1.在计算物体运动的瞬时速度时，h(t0t)h(t0).()提示也可能有h(t0t)h(t0).2.瞬时速度是刻画物体在区间t0，t0t(t0)上变化快慢的物理量.()提示瞬时速度是刻画物体在某一时刻速度的物理量.3.曲线在某点处的切线是过该点的割线的极限位置.()微训练1.若一质点的运动方程为st21，则在时间段1，2中的平均速度是_.解析3.答案32.抛物线yx21在点(1，2)处的切线的斜率是_.解析k (2x)2.答案2微思考1.教材中求抛物线切线的斜率的过程中x表示什么？它的取值范围是什么？提示x是自变量的增量，它可以是正值，也可以是负值，但不为0.2.如果某物体在某时间段内
8、的平均速度为0，能否判定该物体在此时间段内的瞬时速度都为0?提示不能.题型一求物体运动的平均速度【例1】某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)sin t，t.(1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.解(1)物体在区间上的平均速度为1.物体在区间上的平均速度为2.(2)由(1)可知120，所以223 B.321C.213 D.231解析设直线OA，AB，BC的斜率分别为kOA，kAB，kBC，则1kOA，2kAB，3kBC，由题中图象知kBCkABkOA，即321.故选B.答案B5.已知抛物线yx22上一点P，则在点P处的切线
9、的倾斜角为()A.30 B.45 C.135 D.165解析k1，故切线的倾斜角为45.答案B二、填空题6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是_.解析 (3t)3.答案37.抛物线f(x)x24x在(1，5)处的切线方程为_.解析k6，所以切线方程为y56(x1)，即6xy10.答案6xy108.若抛物线f(x)4x2在点(x0，f(x0)处切线的斜率为8，则x0_.解析k(4x8x0)8x08，解得x01.答案1三、解答题9.曲线f(x)x2上哪一点处的切线满足下列条件？(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.解设P
10、(x0，y0)是满足条件的点，曲线f(x)x2在点P(x0，y0)处切线的斜率为k2x0，(1)切线与直线y4x5平行，2x04，x02，y04，即P(2，4)是满足条件的点.(2)切线与直线2x6y50垂直，2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点.(3)因为切线的倾斜角为135，所以其斜率为1，即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点.10.某物体的运动方程为s(t)，求其在t01时的瞬时速度.解s(1t)s(1)1，故.所以，即物体在t01时的瞬时速度为.能力提升11.若曲线y2x24xm与直线y1相切，则m_.解析设切点坐标为(x0，1)，则k4x040，x01，即切点坐标为(1
11、，1).24m1，即m3.答案312.若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)sf(t)求：(1)物体在t3，5内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t1时的瞬时速度.解(1)物体在t3，5上的时间变化量为t532，物体在t3，5上的位移变化量为s3522(3322)3(5232)48，物体在t3，5上的平均速度为24，物体在t3，5上的平均速度为24 m/s.(2)求物体的初速度v0，即求物体在t0时的瞬时速度.3t18，物体的初速度v0 (3t18)18.(3)3t12，物体在t1时的瞬时速度为(3t12)12 (m/s).创新猜想13.(多选题)已知某物体的运动方程为s(t)7t28(0t5)，则()A.该物体当1t3时的平均速度是28B.该物体在t4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t5时的瞬时速度是70解析该物体在1t3时的平均速度是28，A正确；物体在t4时的瞬时速度是(567t)56，故B正确；物体的最大位移是7528183，C错误；物体在t5时的瞬时速度是 (707t)70，故D正确.答案ABD14.(多空题)已知在函数yax2b的图象上点(1，3)处的切线斜率为2，则a_，b_.解析(ax2a)2a2，所以a1，又3a12b1b，所以b2.答案12