1、综合能力训练综合能力训练第70页第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设全集为R,集合A=xR|x24,B=x|-1x4,则A(RB)=()A.(-1,2)B.(-2,-1)C.(-2,-1D.(-2,2)答案:C解析:A=xR|x24=x|-2x2.B=x|-14或x-1,则A(RB)=x|-20)两个相邻的极值点,则=()A.2B.32C.1D.12答案:A解析:由题意,得f(x)=sinx的周期T=2=234-4=,解得=2,故选A.4.设Sn为等比数列an的前n项和,8a1-a4=0,则S4S2=()A.-8B.8C.5D.15答案:C解析:8
2、a1-a4=0q3=8q=2,S4S2=S2+q2S2S2=1+q2=5.故选C.5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案:A解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为20
3、.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B、C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.与a,b的取值有关答案:C解析:直线即a(x-1)+by=0,过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内.故选C.7.已知ABC是非等腰三角形,设P(cos A,sin A),Q(cos B,sin B),R(cos C,sin C),则PQR的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.
4、直角三角形D.不确定答案:B解析:易知这三个点都在单位圆上,而且都在第一、二象限,由平面几何知识可知,这样的三个点构成的必然是钝角三角形.故选B.8.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是()A.8 cm3B.12 cm3C.24 cm3D.72 cm3答案:B解析:三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面的三棱锥,底面是底边长为6cm、高为4cm的等腰三角形,三棱锥的高为3cm,这个几何体的体积V=1312643=12(cm3).故选B.9.设变量x,y满足约束条件y3x-2,x-2y+10,2x+y8,则yx-1的最小值是()A.1B.-1C.2
5、D.-2答案:A解析:由约束条件y3x-2,x-2y+10,2x+y8作出可行域如图,联立x-2y+1=0,2x+y=8,解得A(3,2),yx-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=2-03-1=1.10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.52B.62C.103D.2答案:A解析:设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2
6、).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=1.b2a2=14,e2=1+b2a2=54.e=52.故选A.11.已知函数f(x)=sin(x2),-1x0,18b0.2a+18b22a-3b=22-6=14,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.15.若函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,02)的部分图象如图所示,则函数f(x)在区间-,0上的单调递增区间为.答案:-3,0解析:由题中图象知A=2,T=435-(-1)=8,所以2=8,即=4.又函数f(x)的图象经过点(5,-2),所以2sin45+=-2,即sin
7、54+=-1.因为00.由已知,有2q2-3d=2,q4-3d=10,消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+
8、3,nN*.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AB的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)若E是棱BB1的中点,求三棱锥C-AA1E的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比.(1)证明如图,连接AC1交A1C于点O,连接OD.O是AC1的中点,又D是AB的中点,ODBC1.又OD平面A1CD,BC1平面A1CD,BC1平面A1CD.(2)解设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCh.又V=VC1-ABB1A1+VC-ABC1,VC-ABC1=VC1-ABC=13SABCh=V3,VC1-ABB1A1=2V3.CC1
9、BB1,CC1平面ABB1A1,BB1平面ABB1A1,CC1平面ABB1A1.VC-ABB1A1=VC1-ABB1A1=2V3.SA1AE=12S平行四边形AA1B1B,VC-AA1E=12VC-ABB1A1=122V3=V3.三棱锥C-AA1E的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为13.19.(12分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.解(1)x甲=14(9+9+11+11
10、)=10,x乙=14(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又s甲2=14(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2=1;s乙2=14(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2=52,s甲20)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+p2.因为|AF|=3,即2+p2=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E
11、:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),所以kGA=22-02-(-1)=223,kGB=-2-012-(-1)=-223,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不
12、妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4x得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-2.又G(-1,0),故直线GA的方程为22x-3y+22=0,从而r=|22+22|8+9=4217.又直线GB的方程为22x+3y+22=0,所以点F到直线GB的距离d=|22+22|8+9=4217=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.21.(12分)已知函数f(x)=2x-ax+bln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数
13、f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-3x,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.解(1)f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2+ax2+bx.依题设,f(1)=5,f(1)=-3,a=-3,b=-2.f(x)=2-3x2-2x=2x2-2x-3x2,令f(x)0,又x0,x1+72.函数f(x)的单调递增区间为1+72,+.(2)g(x)=f(x)-3x=2x-2lnx,g(x)=2-2x.设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g(x0)(x0-2),即2x0-2lnx0-2=2-2x0(x0-2),l
14、nx0+2x0=2.令h(x)=lnx+2x-2,则h(x)=1x-2x2,当h(x)=0时,x=2.h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.h12=2-ln20,h(2)=ln2-10,h(x)的图象与x轴有两个交点,过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,动点A的坐标为(2-3sin ,3cos -2),其中R.以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的方程为cos-4=a.(1)判断动点
15、A的轨迹表示什么曲线;(2)若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a的值.解(1)设动点A的直角坐标为(x,y),则x=2-3sin,y=3cos-2.动点A的轨迹方程为(x-2)2+(y+2)2=9,其轨迹是以(2,-2)为圆心,半径为3的圆.(2)直线l的极坐标方程cos-4=a化为直角坐标方程是x+y=2a.由|2-2-2a|2=3,得a=3或a=-3.23.(10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,xR.不等式f(x)6的解集为M.(1)求M;(2)当a,bM时,证明:3|a+b|ab+9|.(1)解不等式即|x+2|+|x-2|6,而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3对应点到-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=-3,3.(2)证明要证3|a+b|ab+9|,只要证9(a+b)2(ab+9)2,即证9(a+b)2-(ab+9)2=9(a2+b2+2ab)-(a2b2+18ab+81)=9a2+9b2-a2b2-81=(a2-9)(9-b2)0,而由a,bM,可得-3a3,-3b3,(a2-9)0,(9-b2)0,(a2-9)(9-b2)0成立,故要证的不等式3|a+b|ab+9|成立.
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