1、第二课时等差数列的性质及实际应用课标要求素养要求1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究请同学们思考以下问题：若等差数列an为1，3，5，7，2n1，则数列an2，2an是等差数列吗？提示因为等差数列的通项为an2n1，则an22n122n1，2an2(2n1)4n2，可判断数列an2，2an都是等差数列，一般地，若an为等差数列，则anc，can也是
2、等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？1.等差数列通项公式的变形及推广(1)andn(a1d)(nN*)，(2)anam(nm)d(m，nN*)，(3)d(m，nN*，且mn).2.若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)3.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1ana2an1a3an2.4.下标性质在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，
3、qN*)，则amanapaq.特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有aman2ap.拓展深化微判断1.等差数列an中，必有a10a1a9.()提示反例：ann1，a109，a1a98，不满足a10a1a9.2.若数列a1，a2，a3，a4，是等差数列，则数列a1，a3，a5，也是等差数列.()3.若数列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3也是等差数列.()提示反例：设两数列为1，3，5，4，6，8，显然1，4，3，6，5，8，不是等差数列.4.若数列an为等差数列，则an1an12d，n1，且nN*.()微训练1.在等差数列an中，a1018，a2
4、2，则公差d()A.1 B.2 C.4 D.6解析由题意知a10a28d，即8d16，d2.答案B2.已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有()A.a1a1010 B.a2a1010，所以解得a，d，此等差数列为1，2，5，8或8，5，2，1.【迁移】已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列an的通项公式.解法一根据题意，设等差数列an的前三项分别为a1，a1d，a12d，则即解得或因为数列an为单调递增数列，所以从而等差数列an的通项公式为an4n1.法二由于数列an为等差数列，所以可设前三项分别为ad，a，ad，由题意得即解得或由于数列an为单调递
5、增数列，所以从而an4n1.规律方法等差数列项的常见设法(1)通项法：设数列的通项公式，即设ana1(n1)d.(2)对称项设法：当等差数列an的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当等差数列an的项数为偶数时，可设中间两项分别为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，.对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na.【训练3】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.解法一设此等差数列的首项为a1，公差为d.根据题意，得化简得解得或
6、所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.法二设这四个数为a3d，ad，ad，a3d，则由题意得即解得或所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.题型四等差数列的实际应用【例4】中国历法推测遵循以算为主、以测为辅的原则.例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸10分).节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长/寸135.0125.115.1105.295.38
7、5.475.5节气清明(白露)谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长/寸65.555.645.735.825.916.0已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中小寒与清明之间的晷影长之差为()A.105.6寸 B.48寸C.57.6寸 D.67.2寸解析设晷影长构成等差数列an，公差为d，则a1130.0，a1314.8，d9.6，故小寒与清明之间的晷影长之差即为a2a8(a8a2)6d57.6.答案C规律方法解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条件
8、翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练4】假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在_年新建住房的面积开始大于820万平方米.解析设n年后该市新建住房的面积为an万平方米.由题意，得an是等差数列，首项a1450，公差d50，所以ana1(n1)d40050n.令40050n820，解得n.由于nN*，则n9.所以该市在2 029年新
9、建住房的面积开始大于820万平方米.答案2 029一、素养落地1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理及数学运算素养，通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养.2.在等差数列an中，当mn时，d，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.3.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.4.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.二、素养训练1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于()A.3 B.6 C.4 D.3解析由等差数列的性
10、质得a8a3(83)d5d，所以d6.答案B2.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7等于()A.5 B.8 C.10 D.14解析法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78.答案B3.在等差数列an中，a1a52，a3a78，则a11a15_.解析(a3a7)(a1a5)4d6，则d，则a11a15(a1a5)20d22032.答案324.在等差数列an中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1a8_.解析由题意知a3a610，故a1a8a3a610.答案105.三个数成等差
11、数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数.解设这三个数分别为ad，a，ad.由题意可得解得或所求三个数为2，2，6或6，2，2.基础达标一、选择题1.在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A.4 B.6 C.8 D.10解析由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.答案C2.已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m为()A.12 B.8C.6 D.4解析由等差数列性质得，a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.答
12、案B3.在等差数列an中，a2 018log27，a2 022log2，则a2 020()A.0 B.7 C.1 D.49解析a2 020(a2 018a2 022)(log27log2)log2 10.答案A4.九章算术是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五人个分重量为6钱(钱是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是()A.
13、 B. C. D.解析设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1a2a3a4a5，a1a2a3a4a565a3，a3.答案C5.等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A.10 B.20 C.40 D.2log25解析因为2a12a22a102a1a2a1025(a5a6)254220，所以原式log222020.答案B二、填空题6.在等差数列an中，若a2a2a8a6a1016，则a4a6_.解析等差数列an中，a2a2a8a6a1016，aa2(a6a10)a6a1016，(a2a6)(a2a10)16，2a42a616，a4a6
14、4.答案47.已知数列an是等差数列.若a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477，且ak13，则k_.解析设数列an的公差为d，a4a7a103a717，a7.a4a1411a977，a97，d.aka9(k9)d，即137(k9)，解得k18.答案188.已知等差数列an中，a1a3a8，那么cos(a3a5)_.解析在等差数列an中，由a1a3a8，得a1(a12d)(a17d)，3a19d，即a13da4，a3a52a4，则cos(a3a5)cos.答案三、解答题9.已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.解设这三个数分别为ad，
15、a，ad，且d0.由题意可得解得或d0，a6，d2.这三个数是4，6，8.10.已知数列an满足an1(nN*)，且a10.(1)求a2，a3；(2)是否存在一个实常数，使得数列为等差数列，请说明理由.解(1)因为a10，an1(nN*)，所以a2，a3.(2)假设存在一个实常数，使得数列为等差数列，所以，即，解得1.因为，又1，所以存在一个实常数1，使得数列是首项为1，公差为的等差数列.能力提升11.下面是关于公差d0的等差数列an的四个结论：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列.其中正确的为()A.p1，p2 B.p3，
16、p4C.p2，p3 D.p1，p4解析设等差数列首项a1，d0，则ana1(n1)ddn(a1d)，数列an递增，p1正确；nandn2(a1d)n，当n0时，不递增，p3错误；an13(n1)d(an3nd)an1an3d4d0，an3nd递增，p4正确，故选D.答案D12. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n
17、台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列an，an780(n1)(20)20n800，由an20n800440，得n18，即购买台数不超过18台时，每台售价(80020n)元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为80075%600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(80020n)n600n20n(10n).当n10时，(80020n)n600n，到乙商场购买花费较少；当n10时，(80020n)n600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10n18时，(80020n)n600n，到甲商场购买花费较少；当n18时，440n600n，到甲商场购买花费较少.因此
18、，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.创新猜想13.(多选题)已知等差数列an中，a13，公差为d(dN*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是()A.2 B.3 C.4 D.5解析由2021是该数列的一项，即20213(n1)d，所以n1，因为dN*，所以d是2 018的约数，故d不可能是3，4和5.答案BCD14.(多空题)已知两个等差数列an：5，8，11，与bn：3，7，11，它们的公共项组成数列cn，则数列cn的通项公式cn_；若数列an和bn的项数均为100，则cn的项数是_.解析由于数列an和bn都是等差数列，所以cn也是等差数列，且公差为3412，又c111，故cn1112(n1)12n1.又a100302，b100399，由解得1n25.25，故cn的项数为25.答案12n125