1、第二课时数列的递推公式课标要求素养要求1.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.通过由数列的递推公式归纳或者推导数列的通项公式，提升学生的数学运算素养和逻辑推理素养.新知探究历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成
2、年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题1过了一年之后，会有多少对兔子？提示我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题2兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，这个数列的第n项an，第n1项an1，第n2项an2有何关系？提示anan1an2.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之
3、间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.2.数列的前n项和(1)数列an的前n项和：把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn，即Sna1a2an.(2)数列的前n项和公式：如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.3.an与Sn的关系式an拓展深化微判断1.数列an中，若an12an，nN*，则a22a1.()2.利用an12an，nN*可以确定数列an.()提示只有给出a1的值，才可以确定数列an.3.设数列an的前n项和为Sn，则anSnSn1.()提示an微
4、训练1.已知数列an满足a13，an12an1，则数列的第5项a5_，由此归纳出an的一个通项公式为_，可以求得a8_.解析a13，a22a117，a32a2115，a42a3131，a52a4163，a563.可以看出an2n11，a8291511.答案63an2n115112.设数列an的前n项和为Sn2n3，则an_.解析当n2时，anSnSn1(2n3)2(n1)32，又a1S12131，故an答案微思考1.利用数列的递推公式确定一个数列，必须给出哪些条件？提示(1)“基础”，即第1项(或前几项)；(2)递推关系，即递推公式.2.数列的递推公式与其通项公式有何异同？提示相同点不同点通项
5、公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项给出n的值，可求出数列中的第n项an递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an题型一由数列的递推公式求数列的项【例1】若数列an满足a12，an1，nN*，求a2 021.解a23，a3，a4，a52a1，an是周期为4的数列，a2 021a45051a12.规律方法递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律.【训练1】(多选题)已知数列an中，a13，an1，能使an3的n可以为()A
6、.22 B.24 C.26 D.28解析由a13，an1，得a2，a3，a43.所以数列an是周期为3的数列，故a22a283.答案AD题型二由递推公式求数列的通项【例2】(1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，nN*，求通项an；(2)若数列an中各项均不为零，则有a1an(n2，nN*)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，(n2，nN*)，求通项an.解(1)当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a11也符合上式，所以数列an
7、的通项公式是an2n1，nN*.(2)当n2时，ana11.a11也符合上式，所以数列an的通项公式是an，nN*.规律方法形如an1anf(n)的递推公式，可以利用a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)求通项公式；形如f(n)的递推公式，可以利用a1an(n2，nN*)求通项公式.以上方法分别叫累加法和累乘法.【训练2】设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(nN*)，则它的通项公式an_.解析法一(累乘法)：把(n1)anaan1an0分解因式，得(n1)an1nan(an1an)0.an0，an1an0，(n1)an1nan0，.又a11，ana
8、1.法二(迭代法)：同法一，得，an1an，anan1an2an3a1a1.又a11，an.法三(构造特殊数列法)：同法一，得，(n1)an1nan，数列nan是常数列，nan1a11，an.答案题型三由Sn与an的关系求an【例3】已知数列an的前n项和为Snn2n，求这个数列的通项公式.解根据Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n1，nN*)，当n1时，anSnSn1n2n2n，当n1时，a1S1121，也满足式.数列an的通项公式为an2n，nN*.【迁移1】把例3中数列an的前n项和改为Snn2n1，求数列an的通项公式.解当n2时，anSnSn12n.当n1时，a1S11
9、21不符合式.an【迁移2】把例3中数列an的前n项和改为Sn2n1，求数列an的通项公式.解Sn2n1，当n1时，a1S1211；当n2时，anSnSn12n1(2n11)2n1.当n1时，a11符合上式，an2n1.规律方法已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示.【训练3】已知数列an的前n项和为Sn2n2n3，求数列an的通项公式.解Sn2n2n3，当n1时，a1S1212136；当n2时，anSnSn12n2n32(n1)2(n1)34n1.当n1时，a1不符
10、合上式，an一、素养落地1.通过学习由数列的递推公式求数列的项或通项公式，提升逻辑推理素养和数学运算素养.2.由数列的递推公式求数列的通项公式的方法有：(1)归纳法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)迭代法.3.利用an与Sn的关系求通项所应用公式为an注意其步骤有三：求n1时的项，即a1；求n2时an的表达式；验证a1是否满足n2时的表达式.二、素养训练1.已知数列an中的首项a11，且满足an1an，则此数列的第三项是()A.1 B. C. D.解析由题知a211，a31.答案C2.数列2，4，6，8，10，的递推公式是()A.anan12(n2)B.an2an1(n2)C.a12，ana
11、n12(n2)D.a12，an2an1(n2)解析A，B中没有说明某一项，无法递推；D中a12，a24，a38，不合题意.答案C3.已知数列an中，an12an对nN*成立，且a312，则a1_.解析a32a212，a26，a22a16，a13.答案34.已知数列an的首项a11，an1(n1，2，3，)，则a4_，猜想其通项公式是_.解析数列an的首项a11，an1(n1，2，3，)，a2，同理可得a3，a4.猜想其通项公式是an.答案an5.设数列an的前n项和为Sn3n，求an.解当n2时，anSnSn13n3(n1)3，又a1S13，所以an3.基础达标一、选择题1.在数列an中，a1
12、1，an1(n2，nN*)，则a5()A. B. C. D.解析由题知，a11，a22，a3，a43，a5.答案D2.已知数列an，a21，anan12n，nN*，则a1a3的值为()A.4 B.5 C.6 D.8解析由a21，anan12n，nN*，可得a1a22，a2a34，解得a11，a33，a1a34.答案A3.已知数列an满足a1a，an1(nN*).若数列an是常数列，则a()A.2 B.1 C.0 D.(1)n解析数列an满足a1a，an1(nN*)，a2.数列an是常数列，a，解得a2.故选A.答案A4.已知数列an的前n项和Snn22n，则a2a18等于()A.36 B.35
13、 C.34 D.33解析a2S2S1(2222)(1221)1，a18S18S17182218(172217)33，a2a1834.答案C5.设Sn为数列an的前n项和.若2Sn3an3，则a4()A.27 B.81 C.93 D.243解析根据2Sn3an3，可得2Sn13an13，两式相减得2an13an13an，即an13an.当n1时，2S13a13，解得a13，则a43a332a233a181.答案B二、填空题6.数列an中，a12，anan13，则14是an的第_项.解析a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314.答案57.已知数列an中，a1a2ann2(
14、nN*)，则a9_.解析a1a2a882，a1a2a992，得，a9.答案8.数列an中，a12，an2an1(nN*，2n10)，则数列an的最大项为_.解析a12，an2an1，an0，21，anan1，即an单调递增，an的最大项为a102a94a829a12922101 024.答案1 024三、解答题9.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a10，an1an2n1(nN*)；(2)a11，an1an(nN*)；(3)a11，an1an(nN*).解(1)a10，a21，a34，a49.猜想an(n1)2(nN*).(2)a11，a2，a32，a4.猜想an(
15、nN*).(3)a11，a2，a3，a4.猜想an(nN*).10.已知数列an的前n项和为Sn，求数列an的通项公式.(1)Sn3n2；(2)Snn2n.解(1)当n1时，a1S15；当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1，故an(2)当n2时，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)2n2，又a10满足an2n2，故an2n2.能力提升11.已知各项不为0的数列an满足a1，anan1an1an(n2，nN*)，则an_.解析anan1an1an，且各项均不为0，1.当n2时，21111(n1)个1 n1.n1，当n2时，an.a1也符合上式，an(nN*).答案12.已
16、知数列an满足a11，an1an，nN*，求数列的通项公式an.解an1an，a2a1，a3a2，a4a3，anan1(n2)，将以上n1个式子相加，得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)，即ana11(n2，nN*).ana1111(n2，nN*)，又当n1时，a11也符合上式.an，nN*.创新猜想13.(多选题)已知数列xn满足x1a，x2b，xn1xnxn1(n2)，则下列结论正确的是()A.x2 020aB.x2 022abC.x11x2 021D.x1x2x2 0202ba解析x1a，x2b，x3x2x1ba，x4x3x2a，x5x4x3b，x6x5x4ab，x7x6
17、x5ax1，x8x7x6bx2，xn是周期数列，周期为6，x2 020x4a，A不正确；x2 022x6ab，B正确；x2 021x5x11，C正确；x1x2x2 020x1x2x3x42ba，D正确.答案BCD14.(多选题)已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a44，则m所有可能的取值为()A.4 B.5 C.21 D.32解析若a3为奇数，则3a314，a31，若a2为奇数，则3a211，a20(舍去)，若a2为偶数，则1，a22.若a1为奇数，则3a112，a1(舍去)，若a1为偶数，则2，a14；若a3为偶数，则4，a38；若a2为奇数，则3a218，a2(舍去).若a2为偶数，则8，a216.若a1为奇数，则3a1116，a15.若a1为偶数，则16，a132.故m所有可能的取值为4，5，32.答案ABD